Por qué $\sqrt{-1 \times -1} \neq \sqrt{-1}^2$?

Question

Sabemos que $$i^2=-1 $$entonces, ¿por qué sucede esto? $$ i^2 = \sqrt{-1}\times\sqrt{-1} $$ $$ =\sqrt{-1\times-1} $$ $$ =\sqrt{1} $$ $$ = 1 $$

EDIT: veo que esto ha sido tratado antes, pero al menos con esta respuesta no estoy haciendo el fundamental error de asumir una definición incorrecta de $i^2$.

Answer 1

Desde $i^2=-1$ usted puede llegar a la conclusión de que $i=\sqrt{-1}$, así como los de $(-2)^2 = 4$ se puede llegar a la conclusión de que $-2=\sqrt 4$. El símbolo $\sqrt a$ es, por definición, la raíz cuadrada positiva de $a$ y sólo está definida para $a\ge0$.

Se dice que incluso Euler se confundió con $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$. O, ¿él? Ver Euler "error"? El radical producto de la regla en perspectiva histórica (Amer. De matemáticas. Mensual 114 (2007), no. 4, 273-285).

Answer 2

Cualquier número distinto de cero tiene dos raíces cuadradas. Hay una afirmación algebraica que siempre es cierto : "una raíz cuadrada de $un$ veces a la raíz cuadrada de de $b$ es igual a una raíz cuadrada de $ab$", pero esto no digo que la raíz cuadrada de $ab$ que usted consigue.

Ahora si $a$ y $b$ son positivos, entonces la raíz cuadrada positiva de $un$ (denotado $\sqrt{a}$) veces la raíz cuadrada positiva de $b$ (denotado $\sqrt{b}$) es un número positivo. Por lo tanto, es la raíz cuadrada positiva de $ab$ (denotado $\sqrt{ab}$). Que los rendimientos de

$$\forall a,b \ge 0, \ \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$

En su cálculo, debido a que $i$ es una raíz cuadrada de $-1$, entonces $i^2$ es de hecho una raíz cuadrada de 1$$, pero no el positivo.

Answer 3

$\hspace{0,2}$ El problema es este: el (polar) la representación de un número complejo depende de su elección de la rama. Una vez que elija una rama de la raíz cuadrada, usted no puede, simultáneamente, representan $1$ y $-1$, porque son de $\pi$ de diferencia, de manera que $-1$ y $1$ necesariamente va a ser en diferentes ramas de la $z^{1/2}$. La elección de la raíz cuadrada de hacer (si quieres que quede bien definido) depende de la elección de la rama en que está trabajando. Usted está tratando de combinar los números que viven en diferentes ramas; es como si usted agregar $1+$ 1 y recibe $1-i\pi$, desde el 1 también puede ser representado como $i\pi$ ($~1$ en realidad puede ser representada como $ik\pi$, pero cuando usted opera, que se supone que permanecer dentro de una misma rama, y, en su caso, no se$~$).

$\hspace{0,2}$ En los números complejos, desde la perspectiva de la polar representaciones, cuando se multiplican $z_1 \dot z_2$, se multiplican las respectivas longitudes, y agregar los respectivos ángulos (pero usted tiene que hacer por el hecho de que la suma de los ángulos pueden ser de más de $2\pi$ (o lo que sea argumento-el sistema está trabajando. Lo que en este sentido, cuando se multiplican $i$ de por sí, se multiplica la longitud de la $i$ de por sí, y agregue el argumento en sí mismo; es decir, el doble del argumento. En el complejo de variables, que tienen muchas posibles polar representaciones de un número dado; específicamente, dado $z=re^{es}$, entonces $z=re^{i(t+2\pi)}$ es también una representación válida.

$\hspace{15.0 en}$ $\hspace{0,2}$ A continuación, debe elegir una representación específica para su $z$, específicamente; se debe especificar el rango de la discusión se va a trabajar. Así, dice que trabaja con el "estándar" de la gama de $[0,2\pi$. A continuación, la expresión para $i$ (me) as $i=1e^{i\pi/2}$, por lo que $i^2$= $(1)(1).e^{i(\pi/2+\pi/2)}=e^{i\pi}=-1$. Pero el camino hacia atrás a partir de la multiplicación de la toma de las raíces es más complicado si tu base es no negativo, y/o su exponente tiene un no-cero de la parte imaginaria. Cuando este último es el caso, definir:

$z^{{1}/{2}} \:=e^{{\Large{log(z)}}},~$ donde definimos:

$\log(z):=\ln |z|+i arg(z)$

(Esta elección de la definición tiene que ver en parte con las ganas de tener el complejo de registro de acuerdo con el estándar de la real $\log$--a pesar de que este acuerdo sólo es posible para una opción de "rama", como vamos a ver). Pero debido a la infinitamente muchas posibles choicesfor el argumento de un número, el $\log(z)$ sí, definidos localmente como la inversa de $e^z$ es algo ambiguamente definido, desde $e^z$ no tiene un mundial inversa (ya que no es de $1-1$, para una cosa, pero $e^z$ tiene local inversas, por ejemplo, mediante el teorema de la función inversa). Así que cuando hablamos de $\log$, nos estamos refiriendo sólo a uno de los (infinitamente) muchas posibles local recíproca de $e^z$ .Cada una de las posibles local inversa a $e^z$ es llamado una "rama" de la $\log$. Así que una vez que elija una rama de la $\log$, que es una opción de un conjunto abierto (técnicamente, es semi-abierta) de ancho $2\pi$ a partir de la cual vamos a elegir el argumento que vamos a utilizar. Así, si por ejemplo elegimos la rama estándar de $(0,2\pi)$, lo que llamamos Log(z). Definimos entonces :

$z^{1/2}:=e^{\large{Log(z)/2}}$

Pero, en esta rama , $(-1)^{1/2}$ no está definido aún, debido a que el argumento de $(-1)$ es $0$ , que está fuera de los valores permitidos $(0,2\pi$. Así que, en este sentido, la expresión $(-1)^{1/2}$ no es bien definido, yo.e, en realidad no tiene sentido. ($~$Tenga en cuenta que esta rama particular de la $\log$ se reduce a la estándar cuando se selecciona un argumento de $t=0~$).

Answer 4

Siguiente Willie Wong sugerencia, voy a poner los comentarios que he hecho antes en una respuesta. El problema con este argumento es que la formula $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ es válido para $a,b \geq 0$. En particular, no es válido en el caso de que $a=b=-1$, de modo que el paso de $\sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)}$ es incorrecta.

Answer 5

No me toma el camino equivocado, todos ustedes son desde un cierto punto de vista.

Permítanme mostrarles el siguiente. Deje que $a$ y $b$ ser números complejos. Si $\sqrt a$ es una raíz cuadrada de $a$ y $\sqrt b$ es una raíz cuadrada de $b$, entonces $(\sqrt un\sqrt b)^2 = (\sqrt a)^2 (\sqrt b)^2 = ab$ por supuesto, por lo que, de hecho, $\sqrt un\sqrt b$ es una raíz cuadrada de $ab$. Aviso de que es algo de la raíz cuadrada; no hay elección canónica de más de $\mathbb{C}$!

Desde este punto de vista, sus argumentos trabajo hasta $i^2 = \sqrt1$. Todo lo que has demostrado es que $-1 = i^2$ es una raíz cuadrada de 1 y de que nadie está en desacuerdo con el hecho de que.

Entonces, ¿qué estoy tratando de decir es que, si quieres escribir algo así como $\sqrt un\sqrt b = \sqrt{ab}$, que no es la peor idea, usted no puede escribir algo así como $\sqrt 1 = 1$.