¿Ser un coequalizador es una propiedad local en los esquemas? (respuesta: no, y no)

Question

Esta pregunta está dirigida a una mejor comprensión de los "cocientes categóricos" de las TIG, que se definen como coigualadores de acciones de grupo $G\times X\rightrightarrows X$ en la categoría de esquemas. Véase también Anton's actualmente sin respuesta pregunta sobre la subjetividad de los coequivalentes , también contestado por Laurent Moret-Bailly.

Supongamos que $f,g:W\rightrightarrows X$ et $h:X\to Y$ son mapas de esquema tales que $hf=hg$ . Sea $Y_i$ sea una cubierta Zariksi de $Y$ y que $X_i$ et $W_i$ ser sus retrocesos a $Y_i$ (es decir, las preimágenes de los conjuntos abiertos $Y_i$ ).

(a) de local a global: ¿Es cierto que si $W_i\rightrightarrows X_i\to Y_i$ es un coigualador en la categoría de esquemas para cada $i$ entonces $Y$ es un coequipamiento en los esquemas?

(b) de global a local: ¿Y lo contrario?

Resumen de respuesta de Laurent Moret-Bailly :

(a) de local a global: la respuesta es no, pero sí si los mapas de las intersecciones $h_{ij}:X_{ij}\to Y_{ij}$ son épica (por ejemplo, si $h$ es esquemáticamente surjetivo, o simplemente universalmente épico).

(b) de global a local: la respuesta es simplemente no .

Observaciones

1) Las afirmaciones análogas (a) y (b) para coigualadores en la categoría de espacios localmente anillados son verdadero , lo que se desprende de la construcción de coequalizadores en LRS (coequalizar los espacios topológicos, y tomar anillos de invariantes).

2) Las afirmaciones análogas para los coigualadores en la categoría de esquemas afines es verdadero : Que $C\to B\rightrightarrows A$ es un ecualizador es equivalente a la exactitud del $C$ -secuencia de módulos $0\to C \to B \stackrel{f-g}{\to} A \to 0$ que se puede comprobar en las localizaciones en ideales primos (o máximos) de $C$ .

3) Las afirmaciones análogas para los cocientes geométricos buenos de los esquemas es verdadero . Es decir, trabajar en Esquemas/ $S$ si tomamos $W=G\times_S X$ entonces $X\to Y$ es un buen cociente geométrico si $Y_i$ es un buen cociente geométrico de $W_i\rightrightarrows X_i$ para todos $i$ .

4) Las declaraciones análogas para ecualizadores de esquemas es verdadero porque los productos fibrados se pueden comprobar/construir en cubiertas abiertas, como se demuestra esencialmente en el capítulo II.3 de Hartshorne. De hecho, en cualquier categoría, retroceder a lo largo de un morfismo preserva todos los límites, pero no los colímites, y en particular no los coigualadores.

5) Si $W=Spec(A),X=Spec(B)$ et $Y$ es su esquema coigualador, entonces $Y$ no suele ser afín (por ejemplo, cuando se pega a lo largo de las aberturas), pero $Spec(\cal{O}_Y(Y))$ es el coigualador en la categoría de esquemas afines. Es decir, $\cal{O}_Y(Y)$ es canónicamente isomorfo al igualador $C$ de $f^\sharp, g^\sharp:B\rightrightarrows A$ en anillos, cuyo conjunto subyacente es el ecualizador en conjuntos.

6) Si en (5) $B$ es un anillo local, entonces $Y$ es afín, $Y=Spec(C)$ , $C$ es local, y $C\to A$ es un mapa local.

Answer 1

Permítanme empezar con una observación [EDITADO para mayor claridad tras los comentarios de Andrew]. Dado $h:X\to Y$ , los siguientes son equivalentes:
(1) $h$ es el coequipamiento de algún $W\rightrightarrows X$ ,
(2) $h$ es el coequipamiento de $X\times_Y X\rightrightarrows X$ .
En otras palabras, ser un coigualador es equivalente a ser un epimorfismo efectivo (Esto funciona en cualquier categoría con productos de fibra).

Volvamos a las preguntas. La pregunta (b) se refiere a si $h$ es un coigualador, entonces su restricción $h^{-1}(V)\to V$ también es, para cada abierto $V\subset Y$ . Permítanme recordar el ejemplo que di para responder esta pregunta que proporciona un contraejemplo en el que $h^{-1}(V)$ está vacío (y $V$ no lo es): toma $Y=\mathrm{Spec}\,k[[t]]$ ( $k$ un campo), $X=$ la suma disjunta de todos los subesquemas $\mathrm{Spec}\,(k[[t]]/(t^n))$ ( $n\geq1$ ), $V=$ punto genérico de $Y$ .

Para la pregunta (a), suponga que cada $h_i:X_i\to Y_i$ es un coequipamiento y deja que $s:X\to S$ sea un morfismo tal que $sf=sg$ . Entonces, para cada $i$ La restricción de $s$ à $X_i$ desciende únicamente a $t_i:Y_i\to S$ . La cuestión es si $t_i$ et $t_j$ coinciden en $Y_i\cap Y_j$ . Componiéndolos con (la restricción de) $f$ (ou $g$ ) da el mismo resultado, por lo tanto:
$\bullet$ el encolado es automático (y obtenemos una respuesta positiva) si sabemos que para cada $V\subset Y$ La restricción $h^{-1}(V)\to V$ es un epimorfismo de esquemas;
$\bullet$ pero el ejemplo anterior muestra que esto no es cierto en general, y de hecho obtenemos un contraejemplo (no separado) a la pregunta tomando dos copias $X_i\to Y_i$ ( $i=1,2$ ) de ese ejemplo y poniendo $X=X_1\coprod X_2$ , $Y=$ encolado de $Y_1$ et $Y_2$ a lo largo de los puntos genéricos: aquí el coigualador de $X\times_Y X\rightrightarrows X$ es $Y_1\coprod Y_2$ .

Answer 2

[Editar: Esta respuesta es incorrecta, como explica Critch en los comentarios, pero me gustaría dejarla sin borrar. Por favor, no la votéis].

La respuesta a ambas preguntas es sí, pero me parece tan obvio que sospecho que me estoy equivocando. Creo que tu Observación 4 es un poco confusa. Es cierto que en cualquier categoría el retroceso preserva los límites, pero es sorprendente que los productos de fibra pueden construirse localmente en Sch . La razón por la que es sorprendente es que cuando construyes cosas localmente, estás pegando, es decir, estás haciendo un colimite. No hay ninguna razón abstracta para que los productos de fibra (que son límites) conmuten con el encolado (que es un colímite). Por eso Harshorne II.3 no es una simple tontería abstracta.

Por otra parte, la formación de colímites se conmuta automáticamente con la formación de otros colímites en cualquier categoría, al igual que el retroceso respeta automáticamente los límites. Tanto si se forman los colímites $Y_i$ y luego pegar, o pegar el $X_i$ y luego formar el colímite, es todo el colímite de un gran diagrama.

Tenga en cuenta que esto sólo es fácil porque usted comenzó con una cubierta abierta de $Y$ . En otras palabras, es fácil comprobar localmente que algo es un colímite. Pero no es fácil construir colimita localmente. De hecho, es difícil incluso formular lo que significaría construir colímites localmente. En primer lugar, se necesita la cubierta abierta $X_i$ para ser saturado (es decir, se necesitan los dos pullbacks para $W$ de acuerdo). Incluso si se construyen colímites de $W_i\rightrightarrows X_i\to Y_i$ para una cubierta saturada $X_i$ no hay garantía de que los mapas entre los $Y_i$ serán inmersiones abiertas. † Sin hipótesis especiales, tomando el colímite del diagrama de $Y_i$ es tan difícil como tomar el colímite del diagrama $W\rightrightarrows X$ .

† Por ejemplo, $\mathbb A^2\smallsetminus\{0\}$ es un subesquema abierto de $\mathbb A^2$ y está saturado con respecto a la acción de la marcación de $\mathbb G_m$ . Sin embargo, el mapa sobre colímetros es $\mathbb P^1\to \ast$ que no es una inmersión abierta.