El grupo G actúa fielmente sobre X

Question

Demostrar que $G$ actúa fielmente en $X$ cuando no hay dos elementos de $G$ actuando de la misma manera en un elemento $X$ .

Así que no tengo muchas pruebas, pero esto es lo que pienso. Sé que para $G$ para actuar con fidelidad en $X$ la identidad es el único elemento que fija cada elemento en $X$ Así que $\forall x \in X, ex = x$ . Así que esto significa que, $\forall g \in G, gx \neq x$ . Así que si $\phi$ es la acción, $ker\phi = \{e \in G | ex = x\}$ . Sin embargo, no sé cómo derivar la prueba de esto.

Answer 1

En esencia, lo has demostrado. Ningún elemento $g$ actúa de la misma manera que la identidad en un elemento $x$ . En particular, $gx\neq x$ Así que $g$ no actúa trivialmente para cualquier no-identidad $g$ Por lo tanto, la acción es fiel.

Answer 2

Dejemos que $g,h\in G$ .
Supongamos que $gx=hx$ para todos $x\in X$ .
Esto significa que $h^{-1}gx=x$ para todos $x\in X$ .
Por lo tanto, $h^{-1}g$ está en el núcleo de la acción que es trivial ya que $G$ actúa fielmente en $X$ .
Así, $h^{-1}g=1$ y obtenemos $g=h$ .

Gracias Matt Samuel por la corrección.

Respuesta corregida:
Dejemos que $g$ sea un elemento del núcleo de la acción.
Así que $gx=x=1x$ para todos $x\in X$ .
Por la suposición de que no hay dos elementos de $G$ puede actuar de la misma manera en $X$ debemos tener que el núcleo es trivial y por lo tanto concluimos que $G$ actúa fielmente en $X$ .

La respuesta original no es más que la inversa del problema, lo que demuestra que la inversa del enunciado también es cierta.