Supongamos que $f$ el PDF de $X$ y $Y$ es suave y se apoya en un subconjunto de $\mathbb{R}^+$ .
Para cualquier $\alpha\in(0,1)$ queremos que $$\mathbb{P}\left[\frac{X}{X+Y}\leq \alpha\right]=\mathbb{P}\left[X \leq \frac{a}{1-\alpha} Y\right]=\alpha $$ o $$\alpha= \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\frac{\alpha}{1-\alpha}y}f(x)\,f(y)\,dx\,dy = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}f(y t)\,yf(y)\,dt\,dy$$ o $$1-\alpha= \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{1}f\left(y\frac{\alpha}{1-\alpha} t\right)\,yf(y)\,dt\,dy$$ o estableciendo $\frac{\alpha}{1-\alpha}=\beta$ $$\forall \beta>0,\qquad\frac{1}{\beta+1}=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{1}f(y\beta t)y\,f(y)\,dt\,dy = \iint_{0\leq t\leq y\leq+\infty}f(\beta t)\,f(y)\,dt\,dy.$$ Esta es ciertamente una ecuación diferencial peculiar. Esta identidad en $\beta=1$ se cumple con cualquier PDF, pero diferenciando ambos lados con respecto a $\beta$ obtenemos $$ -\frac{1}{(\beta+1)^2}=\iint_T t\, f'(\beta t)\,f(y)\,dt\,dy $$ entonces evaluando en $\beta=1$ y aplicando la integración por partes $$ -\frac{1}{4}=\int_{0}^{+\infty}f(y)\int_{0}^{y}t f'(t)\,dt\,dy=\int_{0}^{+\infty}f(y)\left[y f(y)-\int_{0}^{y}f(t)\,dt\right]\,dy$$ obtenemos que el valor de $\int_{0}^{\infty}y\,f(y)^2\,dy $ es fijo y es igual a $\frac{1}{4}$ . Al reiterar el proceso (diferenciación múltiple con respecto a $\beta$ Evaluación en $\beta=1$ integración por partes) obtenemos que todos los momentos de $f(y)^2$ son fijos. En particular, el supuesto de suavidad implica que $f(y)=\lambda e^{-\lambda y}$ es decir, la solución trivial, es la única solución.
