Demostrando una secuencia converge cuando las combinaciones de términos consecutivos convergen

Question

Problema: Vamos a $\{x_n\}$ ser una secuencia de números reales tales que $$\lim_{n\to\infty} 2x_{n+1}-x_n=L \in \mathbf{R}.$$ Prove that $x_n \a L$ as $n\to\infty$.

Puedo ver que si $\{x_n\}$ converge a un límite, ese límite debe ser $L$. Estoy teniendo problemas para probar la convergencia de la secuencia. Primero trató de ver si podía hacer de $|x_n-L|$ pequeño jugando con el triángulo de las desigualdades, pero que no resultaron. También traté de demostrar que $\{x_n\}$ es de Cauchy o monótona y acotada, pero yo no podía probar la secuencia de Cauchy, y me encontré con un contra-ejemplo para monótona y acotada: $x_n=(-1)^n/n$.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Denotar $\mu_n=\frac12(2x_{n+1}-x_n-L)$. Sabemos que $\mu_n\to 0$ al $n\to\infty$. Reorganizar un poco por comodidad $$ x_{n+1}-L=\frac12 (x_n-L)+\mu_n\qquad\Leftrightarrow\qquad y_{n+1}=\frac12 y_n+\mu_n $$ donde $y_n=x_n-L$. Tenemos que demostrar que el $y_n\to 0$ al $n\to 0$. Mediante la repetición de la recursividad podemos conseguir $$ y_{n+m}=\left(\frac12\right)^my_n+\sum_{k=0}^{m-1}\left(\frac12\right)^{m-1-k}\mu_{n+k} $$ que da a la estimación $$ |y_{n+m}|\le |y_n|\left(\frac12\right)^m+\sup_{k\ge n}|\mu_k| \cdot\underbrace{\sum_{k=0}^{m-1}\left(\frac12\right)^{m-1-k}}_{\le 2}. $$ Así que tomando $n$ lo suficientemente grande como para hacer el segundo término $\le\epsilon/2$ y luego tomar la $m$ lo suficientemente grande como para hacer que el primer término $\le\epsilon/2$ podemos demostrar que $y_n\to 0$.

Answer 2

Se sugiere el inicio (puede rellenar detalles estoy seguro).

Tenga en cuenta que $$\lim_{n\to \infty}4x_{n+2}-x_n=3L$$ and progressing inductively you get $$\lim_{n\to \infty}2^rx_{n+r}-x_n=(2^r-1)L$$