derivada de la función de error

Question

¿Cómo puedo calcular las derivadas

$$\frac{\partial \mbox{erf}\left(\frac{\ln(t)-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)}{\partial \mu}$$ y $$\frac{\partial \mbox{erf}\left(\frac{\ln(t)-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)}{\partial \sigma}$$

donde $\mbox{erf}$ denota que la función de error puede venir dada por $$\mbox{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\exp(-t^2)\,dt$$

Lo he probado utilizando Calculadora de derivadas WA pero no soy capaz de entender los pasos.

Answer 1

Tienes un error en tu definición de función de error :-). La definición de la función de error es $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt = \int_0^x \frac{2}{\sqrt\pi}e^{-t^2}\,\mathrm dt.$$ La derivada de esta integral con variable es su integrando aplicado al límite superior y multiplicado por la derivada del límite. ( $\frac{\partial x}{\partial x}=1$ ) $$\frac{\partial \operatorname{erf}(x) }{\partial x}=1\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}e^{-x^2}$$

El siguiente paso es calcular la derivada de una función compuesta. Espero que puedas hacerlo tú mismo.

\==Añadir==

Debe tratar $t$ y $\mu$ como parámetros. Por ejemplo: $$\frac{\partial \frac{\ln(t)-\mu}{\sqrt{2}\sigma}}{\partial \sigma}=\frac{\ln(t)-\mu}{\sqrt{2}}{\ln|\sigma|}$$ Continúa.

Answer 2

Sólo para explicarlo para el derivado w.r.t. $\mu$ : $$\Phi(\mu,\sigma^2) = \frac{1}{2}[1+erf(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}})]$$ $$\Phi(\mu,\sigma^2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}} e^{-t^2} dt$$ $$\frac{\Phi(\mu,\sigma^2)}{d\mu} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} (-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma})$$ $$\frac{\Phi(\mu,\sigma^2)}{d\mu} = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} = - \phi(\mu,\sigma^2)$$ Lo mismo que en el caso de la carretera. $\sigma$ : $$\frac{\Phi(\mu,\sigma^2)}{d\sigma} = \frac{\mu-x}{\sqrt{2 \pi}\sigma^2} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} = \phi(\mu,\sigma^2) \frac{\mu-x}{\sigma}$$