Encontrar el n más pequeño que satisfaga $S_n > 10$

Question

Dejemos que $S_n = 1 + \frac 12 + \frac 13 + \cdots + \frac 1n$ , donde $n \in \{ 1,2,3,\cdots\}$ Encuentre el más pequeño $n$ satisfaciendo $S_n > 10$ .

Lo siento, es la primera vez que pregunto y no sé cómo formatear esto. Sigo sin ver nada incluso después de mirar esto durante mucho tiempo. ¿Alguna pista?

Answer 1

Tenemos una expansión asimétrica para $H_n$ : $$H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2 k n^{2k}} = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} -\frac{1}{12 n^2}+ \frac{1}{120 n^4} - \dots$$ Referencia : Wikipedia sobre el número armónico

Así que $$\ln n + \gamma + \frac{1}{2n} -\frac{1}{12 n^2} < H_n < \ln n + \gamma + \frac{1}{2n}$$ Resolver $\ln n + \gamma = 10$ para $n$ encontramos $n \approx 12367$ . Con este valor de $n$ calculamos $$ H_n > \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} -\frac{1}{12 n^2} = 10.000043$$ y $$H_{n-1} < \ln (n-1) + \gamma + \frac{1}{2(n-1)} = 9.999962144$$ así que $H_{n-1} < 10$ y $H_n > 10$ para $n = 12367$ .

Answer 2

Debería estar cerca

$$ \lfloor{ \frac{e^9}{2} }+1 $$

Yo uso

$$ \int_k^{k+1} \frac{1}{t} dt \leq \frac{1}{k} \leq \int_{k-1}^{k} \frac{1}{t} dt $$

Sumas e integras lo que te da el logaritmo y luego resuelves el límite superior e inferior y verificas.

Answer 3

$$12367$$

Ver mi gráfico aquí como muestra de ello.

Con la calculadora: $$S_{12367}=10.00004301$$

Answer 4

El $n$ -número armónico $H_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$ es asintótica a $\ln n+\gamma$ , donde $\gamma$ es el Constante de Euler-Mascheroni , igual a $0.57721\dots$

Por lo tanto, si está buscando un $n$ tal que $H_n>1$ , debes resolver la siguiente ecuación:

$$ \ln n + \gamma > 10, $$ y el primer entero mayor que $e^{10-\gamma}$ es $n=12367$ .

Se trata de una estimación del valor exacto, se necesitan algunas estimaciones de error para encontrarlo.