Demostrar que dos homorfismos de grupo coinciden en ciertas condiciones

Question

Me dan dos grupos, digamos $G$ y $H$ y dos homomorfismos, por ejemplo $f$ y $g$ ambos de $G$ a $H$ . Definir $A=\{ x\in G | f(x)=g(x)\}$ He conseguido demostrar que $A$ es un subgrupo de $G$ y que si $H$ es abeliano $A$ también es normal entonces estoy atascado en demostrar que si $G=\ker (f) A$ entonces $f$ coincide con $g$ (no se especifica si esto ocurre cuando $H$ es abeliano, así que no sé si tengo que suponerlo desde el primer punto que he mencionado).

Hecho que tengo que trabajar en el caso en que $G$ tiene orden $36$ mientras que $H$ tiene orden $3$ (por lo que es isomorfo a $\mathbb Z_3$ ) y $9$ divide el orden de $A$ para concluir de nuevo que $f$ y $g$ debe coincidir. En este caso $H$ es abeliano, así que estaba pensando en demostrar que $G/A$ es isomorfo a $\ker f$ pero no sé cómo seguir adelante (y si es el camino correcto en primer lugar).

Answer 1

Las condiciones dadas en el primer párrafo no son suficientes, incluso si asumimos que ni $\mathrm{ker}(f)$ ni $A$ son el grupo entero (o no trivial); dejemos que $G=H=C_2\times C_2$ con $C_2$ generado por $x$ y se escribe multiplicativamente. Sea $f,g\colon G\to H$ sea dada por $f(a,b) = (1,b)$ y $g(a,b)=(a,b)$ . Entonces $A=\{(1,1), (1,x)\}$ y $\mathrm{ker}(f) = \{(1,1),(x,1)\}$ por lo tanto, $\mathrm{ker}(f)A=G$ pero $f\neq g$ .

En el caso concreto de que $H\cong C_3$ , $|G|=36$ y se sabe que $9\bigm||A|$ la situación es bastante fácil.

Tenga en cuenta que cualquier $2$ -Sylow subgrupo de $G$ debe estar en el núcleo de cualquier homomorfismo de $G$ a $C_3$ en particular, ambos $f$ y $g$ deben estar de acuerdo en todo $2$ -subgrupos bajos de $G$ . Así, $A$ contiene un subgrupo de orden $4$ . Como también sabemos que el orden de $A$ es un múltiplo de $9$ se deduce que el orden de $A$ debe ser $36$ eso es, $A=G$ Así que $f=g$ .