GCD de polinomios en $\mathbb Z_5$

Question

Tengo que encontrar el $\gcd(p(x),h(x))$ donde $p(x)=1+2x+x^2+3x^3$ y $h(x)=2+x+x^5+x^6$ están en $\mathbb Z_5$ .

Para encontrar la solución, divido $h(x)/p(x)$ y me sale $q_1(x)=2x^3+3x^2-1$ y $r_1(x)=3x^2+3x+3$

¿Debo dividir $p(x)/r_1(x)$ ?

Creo que $r_1(x)$ es irreducible pero no sé qué concluir de esto .

También la respuesta del ejercicio es $\gcd(p(x),h(x))=2$ pero no sé cómo conseguir $2$ .

Answer 1

El GCD no cambia si se multiplica $p$ por $2$ Así que para conseguir $$ 2+4x+2x^2+x^3 \qquad\text{and}\qquad 2+x+x^5+x^6 $$ El primer resto es $3x^2+x$ pero podemos multiplicarlo por $2$ : $$ 2x+x^2 \qquad\text{and}\qquad 2+4x+2x^2+x^3 $$ El resto es $4x+2$ pero podemos multiplicarlo por $4$ : $$ x+3 \qquad\text{and}\qquad 2x+x^2 $$ El resto es $3$ .

Por tanto, los dos polinomios son coprimos. Respondiendo a $3$ , $2$ o $1$ para el GCD es el mismo, ya que se determina hasta un elemento invertible.