¿Por qué no estoy en lo cierto al calcular el número de formas de seleccionar una pareja cuando se presenta una mano de cinco cartas?

Question

Soy un novato en matemáticas discretas.

Estoy tratando de calcular la cantidad de opciones posibles al elegir exactamente un par de una baraja de cartas.

Estoy pensando que primero podrías elegir cualquiera de las 52 cartas, y que tu siguiente elección debe ser una de tres cartas (porque elegiste un valor en tu primera elección), después puedes elegir cualquiera de las 48 cartas restantes (restando las cuatro variedades de la primera carta elegida), y luego puedes elegir 1 de 44, y por último una de 40.

$$ {{52}\choose{1}}\cdot{{3}\choose{1}}\cdot{{48}\choose{1}}\cdot{{44}\choose{1}}\cdot{{40}\choose{1}} $$

Pero esto da lugar a una respuesta realmente errónea.

¿Alguna sugerencia sobre cómo pensar?

Answer 1

Estás tratando de calcular el número de opciones que te dan exactamente un par de cinco cartas, ¿verdad?

Lo que has calculado en realidad es el número de opciones en las que las dos primeras cartas forman una pareja y el resto son todas diferentes. Como en realidad hay $\binom 52=10$ diferentes opciones para las que dos de las cinco cartas forman la pareja, hay que multiplicar la respuesta por $10$ .

(edición: es decir, hay que multiplicar por $10$ si quiere el número de pedido opciones de cinco cartas que contienen exactamente un par. Si sólo quieres el número de manos de cinco cartas, sin ordenar, tienes que dividir la respuesta ordenada por $5!=120$ (el número de formas de ordenar una mano dada), así que como dice Wen terminas con tu respuesta dividida por $12$ .)

Answer 2

Especialmente Lime le ha proporcionado una buena explicación de por qué su respuesta es incorrecta.

¿Cómo podemos calcular el número de manos de cinco cartas que contienen una pareja?

Estas manos contienen dos cartas de un rango y una carta de cada uno de los otros tres rangos. Hay $13$ formas de elegir el rango del que saldrá la pareja. Hay $\binom{4}{2}$ formas de seleccionar dos de las cuatro cartas de este rango. Hay $\binom{12}{3}$ formas de seleccionar los rangos de las otras tres cartas de la mano a partir de la $12$ otros rangos de la baraja. Hay cuatro formas de seleccionar una carta de cada uno de estos rangos. Por lo tanto, el número de manos de cinco cartas que contienen una pareja es $$\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}^3$$