Real medible de cardenales que no son medibles queridos

Question

Estoy leyendo Jech de la Teoría de conjuntos, y en el capítulo sobre medibles cardenales hay un teorema que si $\kappa$ es real, medible, pero no es medible, entonces es $\le 2^{\aleph_0}$ y así y así. (Corolario 10.10)

¿Cómo puede un número cardinal ser real, medible, sin ser medibles? No puede una medida de "destruye" (como en la opuesta de la que se construye) en un trivial $0,1$ medida?

Answer 1

Dos valores de medidas comportan de manera muy diferente del valor real de las medidas. Por ejemplo, supongamos $\mathcal{U}$ es un countably completa ultrafilter en un conjunto $X$ y supongamos que $f:X\to2^\omega$ es una inyección. Hay un $b \in 2^\omega$ tal que $$B_n = \{ a \in X : f(a)(n) = b(n) \} \in \mathcal{U}$$ para cada $n < \omega$. Contables integridad, $B = \bigcap_{n<\omega} B_n \in \mathcal{U}$. Pero $B$ contiene exactamente un elemento (es decir,$f^{-1}(b)$) desde $f$ es una inyección. Por lo tanto, $\mathcal{U}$ es una de las principales ultrafilter.

Este argumento muestra que el primer medibles cardenal es mayor que $2^{\aleph_0}$. De hecho, un poco más general argumento puede ser utilizado para mostrar que un cardinal medible debe ser inaccesible. Sin embargo, este argumento no puede ser llevado a cabo con un valor real de la medida. De hecho, es posible (suponiendo la consistencia de un cardinal medible) para la medida de Lebesgue para ser extendido a una medida definida en todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$.

Answer 2

Es una buena pregunta. La respuesta es que el valor real medible cardenal no necesita ser fuertemente inaccesible, mientras que cada medibles cardinal fuertemente inaccesible. De hecho, es coherente que el proceso en sí es un valor real medible cardenal, pero la continuidad no puede ser nunca un cardinal medible, ya que cada medibles cardinal fuertemente inaccesible.

Sin embargo, parte de lo que se reclama es cierto: Solovay demostró que cada valor real medible cardenal $\kappa$ es totalmente medible (con dos valores de medida) en un interior de modelo del universo. Es decir, si $\kappa$ es un valor real medible cardenal, entonces no es definible transitiva de la clase $W$ la satisfacción de ZFC en el que $\kappa$ es un cardinal medible. La clase $W$ se define directamente desde el valor real de la medida en $\kappa$, y esto proporciona un sentido en el que la medida se deconstruye para formar un 2 valores de medida.