dimensión del espacio vectorial de las variedades lineales

Question

Supongamos que $Y=Z(f_1,\cdots ,f_r)\subseteq \mathbb{A}^n_k$ donde cada $f_i$ son polinomios lineales homogéneos que son $k$ -independiente lineal. Entonces $Y$ es también un espacio vectorial sobre $k$ . Mi pregunta: ¿Es la dimensión del espacio vectorial de $Y$ es igual a la dimensión de $Y$ como una variedad afín? En caso afirmativo, ¿cómo?

Gracias.

Answer 1

Sí.

Tenga en cuenta que $Y$ se da como $Ax=0$ , donde $A$ es un $n \times r$ -que contiene los coeficientes de la $f_i$ .

Así, $Y= \ker A$ .

Esto debería quedar claro ahora, tal vez dependiendo de su definición de "dimensión".

EDITAR Ahora que tenemos una definición de dimensión con la que trabajar: podemos al menos acotar inmediatamente la dimensión: cualquier subespacio lineal tiene una filtración $0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \ldots \subset Y$ . Aquí $0$ es un punto, $V_1$ es una línea, $V_2$ es un plano y así sucesivamente. Entonces la dimensión de Zariski debe ser mayor o igual a $\dim \ker A$ .

Para ver que debemos igualdad, supongamos que podemos encajar un subconjunto algebraico irreducible entre $V_k$ y $V_{k+1}$ . Sin pérdida de generalidad, podríamos suponer que $V_k$ se define por $x_0=x_1=\ldots=x_{n-k}=0$ y $V_{k+1}$ se define de forma similar (con una condición menos).

Si $V$ es un subconjunto algebraico irreducible tal que $V_k \subset V \subset V_{k+1}$ entonces $V$ debe ser definida por algún ideal $I_V$ tal que $I_{V_{k+1}} \subset I_V \subset I_{V_k}$ . Pero esto significa que $I_V$ está estrictamente contenido y es distinto de cero en $I_{V_k}/I_{V_{k+1}} = (\overline{x_{n_k}}) \simeq k$ . Pero esto es imposible, ya que este último es un espacio vectorial unidimensional.