$A$ y $B$ son los ángulos agudos positivos que satisfacen las ecuaciones $3\cos^2 A + 2\cos^2 B=4$

Question

$A$ y $B$ son los ángulos agudos positivos que satisfacen las ecuaciones $3\cos^2 A + 2\cos^2 B=4$ y $\dfrac {3\sin A}{\sin B}=\dfrac {2\cos B}{\cos A}$ . Entonces $A+2B$ es igual a:

$1$ . $\dfrac {\pi}{4}$

$2$ . $\dfrac {\pi}{3}$

$3$ . $\dfrac {\pi}{6}$

$4$ . $\dfrac {\pi}{2}$ .

Mi intento

$$\dfrac {3\sin A}{\sin B}=\dfrac {2\cos B}{\cos A}$$ $$3\sin A.\cos A= 2\cos B.\sin B$$ $$\dfrac {3}{2} \sin 2A=2\sin 2B$$ .

¿Cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

A partir de la primera ecuación

$$\cos 2B = 2\cos ^2B - 1=\left(4-3\cos ^2A\right)-1=3\sin ^2A$$

A partir de la segunda ecuación

$$\sin 2B = \frac{3}{2}\sin 2A$$

Sustituya estos valores en

$$\cos (A+2B)=\cos A \cos 2B - \sin A \sin 2B=$$

$$=\cos A \left(3\sin ^2A\right)-\sin A \left(\frac{3}{2}\sin 2A\right)=0$$

$$A+2B=\frac{\pi }{2}$$

Answer 2

PISTA: lo hemos hecho:

$$\frac{3\sin\left(\text{A}\right)}{\sin\left(\text{B}\right)}=\frac{2\cos\left(\text{B}\right)}{\cos\left(\text{A}\right)}\space\Longleftrightarrow\space3\sin\left(\text{A}\right)\cos\left(\text{A}\right)=2\cos\left(\text{B}\right)\sin\left(\text{B}\right)\space\Longleftrightarrow\space$$ $$\frac{3\sin\left(2\text{A}\right)}{2}=\sin\left(2\text{B}\right)\tag1$$

Ahora, también tenemos:

$$3\cos^2\left(\text{A}\right)+2\cos^2\left(\text{B}\right)=1+3\cdot\frac{1+\cos\left(2\text{A}\right)}{2}+\cos\left(2\text{B}\right)=4\tag2$$

Answer 3

La primera condición da $3\cos2A+2\cos2B=3$ .

La segunda condición da $3\sin2A=2\sin2B$ o $$9\sin^22A=4\sin^22B$$ o $$9(1-\cos^22A)=4(1-\cos^22B)$$ o $$9\cos^22A-4\cos^22B=5$$ o $$(3\cos2A+2\cos2B)(3\cos2A-2\cos2B)=5$$ o $$3(3\cos2A-2\cos2B)=5$$ o $$3\cos2A-2\cos2B=\frac{5}{3},$$ que después de sumar con $$3\cos2A+2\cos2B=3$$ da $6\cos2A=\frac{14}{3}$ , que dice $\cos2A=\frac{7}{9}$ y $\cos2B=\frac{1}{3}$ .

Así, $$\sin(A+2B)=\sin{A}\cos2B+\cos{A}\sin2B=$$ $$=\sqrt{\frac{1-\frac{7}{9}}{2}}\cdot\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1+\frac{7}{9}}{2}}\cdot\sqrt{1-\frac{1}{9}}=1,$$

que da $A+2B=\frac{\pi}{2}$

Answer 4

Sugerencia : Eleva al cuadrado ambos lados de la segunda ecuación y sustituye $\sin^2 $ por $1 - \cos^2$ y acoplada a la primera resuelve un sistema de ecuaciones para $\cos A, \cos B$ . ¿Puede el gerente proceder?