Dificultad para entender un párrafo sobre el tema en el análisis numérico.

Question

En primer lugar, me gustaría decir que entiendo muy mal el Análisis Numérico, por lo que la consulta aquí puede ser molesta para algunos. Así que, si crees que conoces alguna fuente que me puedas dar, donde un novato total pueda empezar a entender los temas de Análisis Numérico, estaría muy contento.

Así que aquí está el párrafo que no puedo entender:`

Si E es un espacio vectorial de dimensión finita y dim(E) = n, se sabe que dos normas cualesquiera son equivalentes, y si elegimos la norma $|| \ \ ||_{\infty}$ vemos que la convergencia de la secuencia de vectores $u_k$ es equivalente a la convergencia de la $n$ secuencias de escalares formados por las componentes de estos vectores (sobre cualquier base).

¿Qué significa que dos normas sean equivalentes? En ese libro de texto $u$ se define como $Bu+c$ y $u_{k+1}=Bu_k+c$ ¿Qué es c? Y estoy asumiendo que la matriz $B$ es una matriz inversa de $A$ ? Además, ¿qué sentido tiene multiplicar B por algún vector $u$ y luego añadir una c para obtener de nuevo un vector $u$ ? Además, ¿de dónde sacamos el primer vector para compararlo con $\vec{u}$ ? Me imagino que porque el vector $\vec{u_k}$ debe estar lo suficientemente cerca de $\vec{u}$ los componentes de los vectores deben estar también cerca unos de otros. Pero en el texto se dice escalares. ¿Significa como la multiplicación escalar de los componentes de cada vector? ¿Puede alguien aclararme?

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Answer 1

Dos normas $\parallel\cdot\parallel_1$ y $\parallel\cdot\parallel_2$ son equivalentes si hay constantes positivas $a$ y $b$ tal que para cualquier vector $\vec{v}$ , $$a\parallel\vec{v}\parallel_1\leq \parallel\vec{v}\parallel_2\leq b\parallel\vec{v}\parallel_1$$

De ello se desprende que si una secuencia de vectores converge en una de las normas, también converge en la otra, al mismo valor.

No entiendo en absoluto el resto de su pregunta. ¿Qué hace la secuencia $u_{k+1}=Bu_k+c$ ¿tiene que ver con esto? Dices que asumes $B$ es la inversa de $A$ pero no has dicho qué $A$ es.

EDITAR Veo que los subíndices de las normas no han salido como subíndices. Agradecería que alguien me dijera cómo formatear esto correctamente.

Answer 2

En cuanto a la segunda parte de su pregunta, $B$ no es la inversa de $A$ ... La iteración que mencionas se basa en escribir el sistema original de la forma $u = Bu+c$ . Esta es la base de métodos como el de Jacobi o el de Gauss-Seidel. Una vez que se escribe el sistema en esta forma, y se observa que la solución del sistema original es el punto fijo de $G(u) = Bu+c$ Si se utiliza el método del punto fijo, se construye una secuencia convergente (bajo ciertas suposiciones sobre $B$ ) tomando una aproximación inicial $u_0 \in \mathbb{R}^n$ y la informática $u_{k+1} = G(u_k)=B u_k +c, k \ge 0$ .

En el caso del método de Jacobi, se escribe $A=L + D + U$ , donde L en triangular inferior, $D$ es diagonal y $U$ es triangular superior y se obtiene

$$ Au = b \Leftrightarrow (L+D+U) u = b \Leftrightarrow Du = -(L+U)u + b \Leftrightarrow u = -D^{-1}(L+U)u + D^{-1}b $$

por lo que, en este caso concreto se tendría $B=-D^{-1}(L+U)$ . Esto es sólo un ejemplo de un posible $B$ .