Simplificación de una expresión con productos $\prod_{1\leq i<j\leq n}$ y $\prod_{1\leq i,j\leq n}$ .

Question

El determinante de una matriz $C=(c_{ij})_{n\times n}$ cuyas entradas tienen la forma $c_{ij}=\frac{1}{a_i+b_j}$ viene dada por $$\det C=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_i-a_j)(b_i-b_j)}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(a_1+b_i)}.$$ En estas notas (p. 145), esta fórmula se aplica a ciertas matrices $G$ y $G_m$ . El resultado es

$$\det G=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)},\quad \det G_m=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}\tag{1}$$ "donde $^\prime$ significa que el índice $m$ se ha omitido en el producto".

El objetivo es calcular $\frac{\det G_m}{\det G}$ . Una sustitución directa da como resultado $$\frac{\det G_m}{\det G}=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}\cdot \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}$$ que, según las notas, debería simplificarse a

$$\frac{\det G_m}{\det G}=2 m^2 \pi^2\underset{{1\leq k\leq n}}{{\prod}^{\prime}}\frac{(m^2+k^2)^2}{(m^2-k^2)^2}.\tag{2}$$

Pregunta: Cómo manipular $(1)$ correctamente con el fin de obtener $(2)$ ?

Answer 1

Tenemos

$$\frac{\det G_m}{\det G}=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2} \cdot \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}.$$

Y \begin{align*} \frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)} & = \frac{1}{\prod_{m< k \le n}(m^2\pi^2-k^2\pi^2) \prod_{1 \le k<m}(k^2\pi^2-m^2\pi^2)}, \\ & = \frac{(-1)^{m-1}}{\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2-k^2\pi^2)}. \end{align*} De la misma manera, $$\frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}=\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2+k^2\pi^2)^2 \cdot 2m^2\pi^2.$$ El producto $2m^2\pi^2$ arriba aparece para $i=j=m$ .

Por lo tanto, \begin{align*} \frac{\det G_m}{\det G} & =\left[ \frac{(-1)^{m-1}}{\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2-k^2\pi^2)} \right]^2 \cdot \prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2+k^2\pi^2)^2 \cdot 2m^2\pi^2,\\ & =2m^2\pi^2\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}\frac{(m^2+k^2)^2}{(m^2-k^2)^2}. \end{align*}