Operadores compactos, espacio de secuencias

Question

Dejemos que $\phi\in\ell^\infty$ . Para $p\in[1,\infty]$ , defina $M_\phi:\ell^p\to\ell^p$ por

$$M_\phi(f)=\phi f.$$

Demostrar que $\Vert M_\phi\Vert=\Vert\phi\Vert_\infty$ et $M_\phi$ es compacto si y sólo si $\phi\in c_0$ es decir $\phi$ es una secuencia que converge a $0$ .

Sólo tengo problemas con la parte " $\phi\in c_0$ $\Rightarrow$ $M_\phi$ compacto.

Traté de demostrar por contradicción, asumir $M_\phi$ no es compacta, entonces existe una secuencia acotada $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en $\ell^p$ s.t. $(\phi f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ no tiene subsecuencia convergente, entonces tampoco tiene subsecuencia de Cauchy. Entonces podemos definir

$$t:=\inf_{m\neq n}\Vert \phi(f_m-f_n)\Vert_p>0$$

En este punto estoy atascado, he tratado de encontrar algunos $n\neq m$ s.t. $\Vert \phi(f_m-f_n)\Vert_p<t$ Entonces obtenemos una contradicción. ¿Puede alguien dar alguna pista? Gracias.

P.D. Es necesario utilizar la definición de compacidad para demostrar esta cuestión.

Answer 1

En primer lugar, me gustaría señalar que el $t$ que ha definido puede ser de hecho cero, incluso si la secuencia $M_\phi (f_n)$ no tiene subsecuencia de Cauchy - todo lo que se necesita es que algunos par $f_n,f_m$ para mapear la misma secuencia bajo $M_\phi$ .

Ahora, para demostrar la afirmación, una forma relativamente fácil es expresar $M_\phi$ como la norma límite de una secuencia de operadores de rango finito.

Si no quiere apelar a este hecho, puede probar la reclamación directamente. Debes considerar un conjunto acotado $B$ (digamos, la bola unitaria) en $\ell^p$ y demostrar que el conjunto $M_\phi(B)$ está totalmente acotada cubriéndola con un número finito de $\varepsilon$ -bolas para la arbitrariedad $\varepsilon>0$ . Pista: piensa en lo que supone la multiplicación por $\phi \in c_0$ hará a la cola de un elemento de norma unitaria de $\ell^p$ .

Editar : detalles sobre lo que quiero decir más arriba. Deja que $B$ sea la bola unitaria en $\ell^p$ y que $\varepsilon>0$ buscamos una colección finita de $\varepsilon$ -cubrimiento de bolas $M_\phi(B)$ .

Como $\phi\in c_0$ podemos encontrar $N$ para que $\vert \phi_n \vert\leq \varepsilon/2$ para todos $n>N$ . Ahora considere cada elemento de $M_\phi(B)$ como si tuviera dos piezas: la primera $N$ entradas, y el resto (la cola). Por el argumento que da $\Vert M_\phi \Vert = \Vert \phi\Vert_\infty$ El $p$ -norma de la cola será menor que $\varepsilon/2$ . En otras palabras, cualquier elemento de $M_\phi(B)$ es menor que $\varepsilon/2$ de una dimensión finita (es decir $N$ -dimensional) acotado del subconjunto de $\ell^p$ Llámalo $F$ .

Dimensión finita y acotada significa que podemos cubrir $F$ por un número finito de $\varepsilon/2$ -bolas. Ahora, cualquier elemento de $M_\phi(B)$ difiere como máximo en $\varepsilon/2$ de algún elemento de $F$ que a su vez difiere como máximo en $\varepsilon/2$ uno de los muchos centros finitos. La desigualdad del triángulo nos da que un elemento arbitrario de $M_\phi (B)$ difiere como máximo en $\varepsilon$ de uno de los muchos centros finitos - es decir, hemos cubierto $M_\phi(B)$ por una colección finita de $\varepsilon$ - bolas.

Answer 2

Si $\boldsymbol\varphi\in\ell^\infty(\mathbb N)\smallsetminus c_0(\mathbb N)$ , entonces hay un $\varepsilon>0$ y una subsecuencia $\{\varphi(k_n)\}_{n\in\mathbb N}$ , de tal manera que $$ \lvert \varphi(k_n)\rvert\ge \varepsilon. $$ Dejemos ahora $$ \boldsymbol{u}_n=\boldsymbol{e}_{k_n}, $$ donde $\boldsymbol{e}_{n}$ es la secuencia es que es cero para todo $k\in\mathbb N$ , excepto $k=n$ donde toma el valor 1. Claramente, $\boldsymbol{e}_{n}\in\ell^p(\mathbb N)$ para todos $p$ et $\|\boldsymbol{e}_{n}\|_p=1$ . Ahora $\{\boldsymbol\varphi\boldsymbol{u}_n\}_{n\in\mathbb N}$ no tiene una subsecuencia convergente como $$ \|\boldsymbol\varphi\boldsymbol{u}_m-\boldsymbol\varphi\boldsymbol{u}_n\|_p\ge 2^{1/p}\varepsilon, $$ para todos $m\ne n$ .