Dejemos que $m_1R,m_2R,m_3R,\ldots,m_nR$ ser derecho cíclico $R$ -módulo con la unidad. Si todo idempotente en el anillo de endomorfismo $\text{End}_R(m_iR)$ es central, entonces son los idempotentes de $\text{End}_R(M)$ donde $M=m_1R+m_2R+m_3R+\ldots+m_nR$ central en $\text{End}_R(M)$ ? Si no es así, ¿hay algún contraejemplo?
Mi intento:
Dado que todos los idempotentes en $\text{End}_R(m_iR)$ son centrales, dejemos que $f,e^2=e\in \text{End}_R(M)$ y $m\in M$ . Desde $M=m_1R+m_2R+m_3R+\ldots+m_nR, f=\{f_i\}_{i=1}^{n}$ y $e=\{e_i\}_{i=1}^{n}$ para algunos $f_i,e^2_i=e_i\in \text{End}_R(m_iR)$ .
Un elemento arbitrario $m$ de $M$ es $\displaystyle{m=\sum_{i=1}^{n}x_i\in M}$ con $x_i=m_ir_i, m_i\in M,r_i\in R$ para cada $i=1,\ldots,n$ .
Entonces la centralidad de $f$ viene dada por $\displaystyle{ef (m)=ef\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)=\sum_{i=1}^{n}e_if_i(x_i)=\sum_{i=1}^{n}f_ie_i(x_i)=f e\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)=f e(m)}$ .
Pero no sé si tal definición de $f$ realmente tiene sentido.
