¿Cómo puedo encontrar las probabilidades de cola (pr X>x), o una aproximación razonable, para una variable que es la suma de variables aleatorias independientes de Laplace?
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Sugiero utilizar el función característica de la distribución de Laplace. La función característica de la suma de N v.r. de Laplace independientes es el producto de sus funciones características. Entonces, se puede invertir la función característica para obtener la función de densidad de la suma. Integra este resultado y réstalo a 1 para obtener lo que quieres.
Si no te apetece obtener el valor exacto, puedes utilizar La desigualdad de Cantelli para estimar la probabilidad de la cola. Si $X_i\sim$ Laplace( $\mu_i \, b_i)$ et $Y=\sum X_i$ entonces se puede aplicar la desigualdad de Cantelli estableciendo $\mu_Y=\sum \mu_i$ y $\sigma_Y^2=\sum 2b_i^2$ y $\lambda = x$ para conseguirlo:
$P(Y-\mu_Y\geq x)\leq \frac{\sigma_Y^2}{\sigma_Y^2+x^2}$ si $x\geq0$ O
$P(Y-\mu_Y\geq x)\geq 1-\frac{\sigma_Y^2}{\sigma_Y^2+x^2}$ si $x<0$
Batman
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Un límite simple que a menudo es útil es usar el límite de Chernoff:
A partir de la desigualdad de Markov, sabemos que para una v.r. no negativa $X$ , $P(X \geq c) \leq \frac{E[X]}/c$ . Ahora, introduzca un parámetro no negativo $t$ , y nota $P(t X \geq c t) = P(e^{t X} \geq e^{c t}) \leq \frac{E[e^{t X}]}{c t} = \frac{M_X(t)}{c t}$ . Ahora puede optimizar el lado derecho sobre $t>0$ para apretar el límite.
Esta desigualdad es muy útil y constituye la base de la demostración de muchas otras desigualdades. También se puede aplicar a una suma (dejemos que $X = \sum_i Y_i$ donde $\{Y_i\}$ es una colección de R.V. - nótese que cuando $\{Y_i\}$ es una colección independiente, $M_X(t) = \prod_i M_{Y_i}(t)$ ).
En el caso de una suma i.i.d. de $\{X_i\}_{i=1}^n$ con función generadora de momento común $M_X$ el límite de Chernoff para la suma toma la forma $P(\sum_i X_i \geq c) \leq \inf_{t >0} \frac{(M_X(t))^n}{c t}$ .
