Creo que mis notas están un poco mal porque parece que en un caso por $(M)$ es un conjunto y en otro caso es un elemento. Tal vez un cálculo de las notas ayudaría a aclarar la situación.
Para empezar, algunas definiciones:
Dejemos que $M$ sea un módulo sobre un pid $D$ y que $x\in M$ . Entonces $\gamma_x : D\to M$ sea dada por $d\mapsto d.x$ . Entonces un elemento generador de $\ker(\gamma_x)=\{d|d.x=0\}$ se denomina período de $x$ , denotado por $(x)$ .
Definimos el periodo de $M$ según $(M):=\{ d| d.x=0 \text{ for all } x\in M\} $
(¿es correcta esta definición?)
Este es un ejemplo en el que me he atascado: "Ahora dejemos $M$ sea un módulo de torsión finitamente generado (es decir, Tor $(M)=M$ ) sobre el pid $D$ . Si $M=\langle x_1,...,x_n \rangle $ entonces es un ejercicio fácil demostrar que por $(M)=lcm (per(x_i))=d\neq 0$ . Entonces, si uno tiene $d=p_1^{\nu_1}\cdots p_n^{\nu_n}$ , uno tiene que $$M=M(p_1^{\nu_1})\oplus \cdots \oplus M(p_n^{\nu_n})$$
Donde $M(d):=\ker(\gamma_d)$ . "
Nota: el $=$ a la izquierda de $d$ en $=d\neq 0$ podría ser más apropiado $=:$ pero no estoy seguro, $d$ apareció de repente de la nada.
