Consideramos un punto $p=(p_0,p_1)$ de una curva $\mathcal{C}$ en $\mathbb{A}^2$ . La explosión de $\mathcal{C}$ en el punto $p$ es la transformada estricta de la explosión de $\mathbb{A}^2$ en el mismo punto:
$Bl_p(\mathcal{C})=cl(\pi^{-1}(\mathcal{C}\setminus p))$
donde $\pi: Bl_p(\mathbb{A}^2)\to \mathbb{A}^2$ y
$Bl_p(\mathbb{A}^2)=\{(q,r)\in \mathbb{A}^2\times \mathbb{P}^1: q-p\in r\}$
La condición $q\in r$ corresponde a la ecuación $rk\begin{pmatrix} x-p_0 && y-p_1 \\ r_0 && r_1 \end{pmatrix}=1 $ es decir $r_1(x-p_0)=r_0(y-p_1)$ pero podría ser más complicado en una dimensión superior.
Hay otra descripción útil de la explosión $Bl_p(\mathbb{A}^2)$ en términos de los mapas de trivialización:
$\psi_0: \{r_0\neq 0\}\to \mathbb{C}^2$ enviando $((x,y),r)\to ( x,\frac{r_1}{r_0})$
y la inversa es
$\psi_0^{-1}:\mathbb{C}^2 \to \{r_0\neq 0\} $ enviando $z=(z_{00},z_{01})\to (( z_{00},z_{01}(z_{00}-p_0)+p_1),|1:z_{01}|)$
En cuanto al otro gráfico, se obtiene
$\psi_1: \{r_1\neq 0\}\to \mathbb{C}^2$ enviando $((x,y),r)\to (\frac{r_0}{r_1},y)$
y la inversa es
$\psi_1^{-1}:\mathbb{C}^2 \to \{r_1\neq 0\} $ enviando $z=(z_{10},z_{11})\to (( z_{10}(z_{11}-p_{1})+p_0,z_{11}),|z_{10}:1|)$
Así, el mapa de trivialización corresponde a
$\psi_{10}: \mathbb{C}^2\setminus \{z_{01}\neq 0\}\to \mathbb{C}^2\setminus \{z_{10}\neq 0\}$ que envía $(z_{00},z_{01})\to (1/z_{01}, z_{01}(z_{00}-p_0)+p_1)$
Esto significa que la explosión puede ser vista como $\mathbb{C}^2\sqcup_{\psi_{10}}\mathbb{C}^2$ .
Si quieres explotar más de un punto, entonces
$Bl_{p,q}(\mathbb{A}^2)=\{ ((x,y),r_p,r_q)\in \mathbb{A}^2\times \mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1 : (x,y)-p\in r_p, (x,y)-q\in r_q\}$
Por lo tanto, el estallido en dos puntos puede verse como el encolado de conjuntos abiertos de $\mathbb{C}^2$ de la siguiente manera:
$Bl_{p,q}(\mathbb{A}^2)=((\mathbb{C}^2\setminus (\pi\circ \psi_0)^{-1}(q))_{(z_{00}^p,z_{01}^p)}\sqcup_{\psi_{10}}(\mathbb{C}^2\setminus (\pi\circ \psi_1)^{-1}(q))_{(z_{10}^p,z_{11}^p)}) \sqcup ((\mathbb{C}^2\setminus (\pi\circ \psi_0)^{-1}(p))_{(z_{00}^q,z_{01}^q)}\sqcup_{\psi_{10}} (\mathbb{C}^2\setminus (\pi\circ \psi_1)^{-1}(p))_{(z_{10}^q,z_{11}^q)})$
Ahora estamos en condiciones de resolver sus singularidades:
$Bl_{0,q}(\mathcal{C})=cl(\pi^{-1}(\mathcal{C}\setminus 0))=\{(z_{00}^p,z_{01}^p): z_{00}^3z_{01}^3=z_{00}^2(z_{00}-2i)^2((z_{00}-i)^3-1)\}\sqcup \{(0,0)\}= \{(z_{00}^p,z_{01}^p): z_{00}z_{01}^3=(z_{00}-2i)^2((z_{00}-i)^3-1)\}\sqcup\{(0,0)\}$
en el primer gráfico $(\mathbb{C}^2\setminus (\pi\circ \psi_0)^{-1}(q))_{(z_{00}^p,z_{01}^p)}\sqcup \{point \ at \ infinity\}$ mientras que en el tercer gráfico $(\mathbb{C}^2\setminus (\pi\circ \psi_0)^{-1}(p))_{(z_{00}^q,z_{01}^q)}\sqcup \{point \ at \ infinity\}$ , $q=(2i,0)$ obtenemos
$Bl_{0,q}(\mathcal{C})=cl(\pi^{-1}(\mathcal{C}\setminus q))=\{(z_{00}^q,z_{01}^q): (z_{00}-2i)^3z_{01}^3=z_{00}^2(z_{00}-2i)^2((z_{00}-i)^3-1)\}\sqcup\{(0,0)\}= \{(z_{00}^q,z_{01}^q): (z_{00}-2i)z_{01}^3=z_{00}^2((z_{00}-i)^3-1)\}\sqcup\{(0,0)\}$
Así, la imagen inversa del punto excepcional $0$ de la explosión de $\mathcal{C}$ será
$\pi^{-1}(0)=\{(0,0)\}$ donde $(0,0)$ es el origen del segundo gráfico $(\mathbb{C}^2\setminus (\pi\circ \psi_1)^{-1}(q))_{(z_{10}^p,z_{11}^p)})$
y
$\pi^{-1}((2i,0))=\{(0,0)\}$ donde $(0,0)$ es el origen de la cuarta carta $(\mathbb{C}^2\setminus (\pi\circ \psi_1)^{-1}(p))_{(z_{10}^q,z_{11}^q)})$
Estos dos puntos corresponden a la intersección transversal entre los dos lugares excepcionales de la explosión de $\mathbb{A}^2$ y la transformada estricta de la curva.
En general existe la posibilidad de que esta intersección no sea transversal, pero si haces cierto número de soplos en los puntos de intersección, entonces obtendrás una curva suave que intersectará el lugar excepcional de forma transversal. Esa curva es la resolución de tu curva.
Si tienes alguna duda, te ayudaré.
