¿De dónde procede el segundo término de este movimiento armónico?

Question

Pregunta: $$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 2\sin \Omega t . $$ Determinar el movimiento del objeto, dado que $x (0)= -4$ y $x'(0)=0$ .

Respuesta: $$ x (t) = -4\cos\omega t - \frac {\Omega}{\omega}\frac{2}{\omega^2-\Omega^2}\sin \omega t + \frac{2}{\omega^2-\Omega^2}\sin \Omega t . $$

Mi intento:

Pude encontrar que la ecuación homogénea es

$h=-4\cos(\omega t)$

y una solución particular viene dada por

$p=\dfrac{2\sin(\Omega t)}{\omega^2-\Omega^2} $

Trabajar para $p$ :

$p$ está en la forma:

$p=a\cos(\Omega t)+b\sin(\Omega t)$

$p' = -a\Omega \sin(\Omega t) +b\Omega \cos(\Omega t)$

$p'' = -\Omega^2 p$

Sustituyendo en nuestra EDO original de segundo orden, obtenemos

$p=\dfrac{2\sin(\Omega t)}{\omega^2-\Omega^2} $

Mi solución

Ahora,

$x(t) = h+p$

Por lo tanto,

$x(t) =-4\cos(\omega t) +\dfrac{2\sin(\Omega t)}{\omega^2-\Omega^2} $

Pero como puede ver, el Respuesta en la parte superior de este post es diferente (hay un término medio). Creo que me he perdido algo fundamental. Se agradece la ayuda, ¡gracias!

Answer 1

La solución general de la EDO homogénea es : $$x(t)=c_1\sin(\omega t)+c_2\cos(\omega t)$$ No tengas en cuenta las condiciones de contorno en esta fase: sería un error porque las condiciones son para la EDO no homogénea, no para la homogénea. ¡No es lo mismo!

La solución general de la EDO no homogénea es : $$x(t)=c_1\sin(\omega t)+c_2\cos(\omega t)+\frac{2\sin(\Omega t)}{\omega^2-\Omega^2}$$ Ahora puedes tener en cuenta las condiciones para encontrar $c_1$ y $c_2$ . Supongo que puedes seguir desde aquí.

Answer 2

Las soluciones homogéneas son $$ h (t) = a\cos \omega t + b\sin \omega t , $$ donde $a$ y $b$ son reales. La solución particular propuesta es correcta: $$ p (t) = \frac{2}{\omega^2 - \Omega^2} \sin \Omega t . $$ Ahora, forme $x = h+p$ y aplicar las condiciones iniciales para determinar $a$ y $b$ .