¿Cuál es la ecuación de esta curva ondulatoria cuya amplitud disminuye hasta $0$ y la frecuencia aumenta hasta el infinito como $x\to 0$ ?

Question

Imagina una curva como una onda sinusoidal que se muta así: Para un aumento $X > 0$ y disminuyendo $X < 0$ su frecuencia disminuye en la misma proporción que aumenta su amplitud. Por lo tanto, a medida que $X$ se acerca a $0$ (desde cualquier dirección) su frecuencia aumenta infinitamente y su amplitud disminuye infinitamente en la misma proporción.

¿Puede ayudarme?

$x\sin(1/x)$ fue sugerido y parece realmente perfecto para $x < 0.25:$

Sin embargo, para $x > 1$ muy rápidamente falla para continuar con el mismo patrón:

Para que quede claro, al imaginarme cómo es esta curva veo una curva que se ve igual sin importar si se acerca a 0 o se aleja. Si el origen está en el centro, la curva se verá igual en cualquier escala. Esto se debe a que la amplitud y la frecuencia están cambiando al mismo ritmo.

Answer 1

Una de estas funciones sería $f(x) = x \cdot \sin(\pi\log_2(x))$ que tiene ceros en $x = 2^n$ , $n\in\mathbb{Z}$ y entre dos ceros consecutivos $2^n$ , $2^{n+1}$ alcanza una amplitud entre $2^n$ y $2^{n+1}$ .

Esto tiene el comportamiento de escala correcto: "Ampliar" por un factor de $2$ en la gráfica de la función corresponde a mirar la gráfica de $2f(\frac{x}{2}) = 2\frac{x}{2} \sin\left(\pi (\log_2(x)-\log_2(2))\right) = x \sin(\pi \log_2(x)) = f(x)$ . Por lo tanto, el gráfico no cambia si se amplía o se reduce en un factor de $2$ .

Este es el gráfico de $|x|\cdot\sin(\pi\log_{1.618}(|x|))$ (que es invariable bajo la escala por un factor de $1.618$ en lugar de $2$ ), cortesía de Legit Stack: