Cómo determinar el signo de igualdad que debe utilizarse para $x(2x+7) > 0$

Question

Express $x(2x+7)>0$ en notación de intervalo. ¿Cómo se determina el signo de la respuesta? Esto es lo que hice,

$2x+7>0$ y $x>0$ . Comprendo $x>0$ pero por qué es $x<-\dfrac{2}{7}$ ? ¿No debería ser el signo mayor que porque estoy dividiendo por $2$ y no $-2$ ? ¿O el $-7$ ¿afecta también a la señal?

Answer 1

Hay dos casos, porque $ab>0$ si y sólo si $a>0$ y $b>0$ , o $a<0$ y $b<0$ . Si $x>0$ , entonces automáticamente $2x+7>0$ Así que $x(2x+7)>0$ y tienes una solución. Sin embargo, también hay soluciones cuando $x<0$ y $2x+7<0$ . Aquí la restricción más fuerte es la segunda: si $2x+7<0$ entonces $2x<-7$ y $x<-\frac72$ (no $-\frac27$ ), en cuyo caso es cierto que $x<0$ y por lo tanto que $x(2x+7)>0$ .

En otras palabras, cada $x>0$ es una solución, pero también lo es cada $x<-\frac72$ .

Answer 2

Dejemos que $A=2x+7$ y $B=x$ . entonces tenemos $AB>0$ ¿cuáles son las condiciones en las que se cumple esta desigualdad? la respuesta clara (utilizando las propiedades de los números reales) es cuando $A$ y $B$ son (ambos) positivos, o $A$ y $B$ son (ambos) negativos. En resumen, concluimos lo siguiente:

1- $A>0\;and\;B>0$

2- $A<0\;and\;B<0$

así $$A=2x+7>0\quad and\quad B=x>0$$ $$A=2x+7<0\quad and\quad B=x<0$$ por lo tanto $$x>-\frac{7}{2}\quad and\quad x>0$$ $$x<-\frac{7}{2}\quad and\quad x<0$$ Nótese que estos términos , muestra dos conjuntos: el primero es $$S=\{x\in\mathbb{R}\;;\;x>-\frac{7}{2}\quad and\quad x>0\}=\{x\in\mathbb{R}\;;\; x>0\}$$ y el segundo es $$T=\{x\in\mathbb{R}\;;\;x<-\frac{7}{2}\quad and\quad x<0\}=\{x\in\mathbb{R}\;;\;x<-\frac{7}{2}\}$$ Observe la palabra o lo hemos mencionado antes, concluimos la respuesta con $$S\cup T=\{x\in\mathbb{R}\;;\;x<-\frac{7}{2}\quad or\quad x>0\}$$ Puede trazar la línea real para conocer los detalles.

Answer 3

Producto de dos números $ab>0$ si y sólo si $a<0, b<0$ o $a>0, b>0$ .