El permutoedro puede tener simetrías adicionales. Por ejemplo, el permutoedro de orden 3 $\{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,1,2),(3,2,1)\}$ es un hexágono regular contenido en el plano $x+y+z=6$ que tiene más de 6 simetrías.
Creo que podemos resolverlo de la siguiente manera:
Dejemos que $G$ sea un grupo de orden finito $n$ pensado a través de la representación de Cayley como un subgrupo de $S_n$ .
Dejemos que $S=\{A_1,...,A_n\}$ sea el conjunto de vértices de un simplex regular centrado en el origen en un $(n-1)$ -espacio de producto interno real $V$ . Sea $r$ sea la distancia entre el origen y $A_1$ . El conjunto de vértices $S$ es una base afín para $V$ .
Primera afirmación no demostrada: Si una bola cerrada que tiene radio $r$ contiene $S$ , entonces está centrado en el origen. Sea $B$ sea esta bola.
El grupo de isometrías que fijan $S$ por lo tanto, sólo contiene isometrías que fijan el origen y permutan los vértices, que se pueden identificar con $S_n$ de la manera más obvia. Lo mismo ocurre si sustituimos $S$ por su casco convexo.
Ahora $G$ puede considerarse como un grupo que contiene algunas de las simetrías de $S$ .
Dejemos que $C=k(A_1+2A_2+3A_3+\cdots+nA_n)/(1+2+\cdots+n)$ con $k$ un real positivo que hace que la distancia entre $C$ y el origen un número $r'$ ligeramente más pequeño que $r$ .
Dejemos que $GC=\{g(C) : g \in G\}$ . Tiene $n$ puntos distintos, como consecuencia de $S$ siendo una base afín de $V$ .
Dejemos que $P$ sea el casco convexo de los puntos de $S \cup GC$ .
Observación: Una bola cerrada de radio $r$ contiene $P$ si es $B$ . La intersección de la frontera de $B$ y $P$ es $S$ .
Segunda afirmación no demostrada: Los puntos extremos de $P$ son los elementos de $S \cup GC$ .
Reclamación: $G$ es el grupo de simetrías de $P$ .
Si $g$ está en $G$ , $g$ es una simetría de $GC$ y de $S$ y por lo tanto es una simetría de $P$ .
Si $T$ es una simetría de $P$ entonces $T(P)=P$ y en particular, $T(P)$ está contenida en $B$ y por lo tanto $T(0)=0$ (es decir $T$ es también una simetría de $B$ ). $T$ también debe fijar la intersección de $P$ y la frontera de $B$ Así que $T$ permuta los puntos de $S$ y se puede considerar como un elemento $s \in S_n$ enviando $A_i$ a $A_s(i)$ . Y como $T$ fija el conjunto de puntos extremos de $P$ , $T$ también permuta $GC$ . Veamos que $s$ está en $G$ .
Desde $T(C)$ debe ser un elemento $g(C)$ de $GC$ tenemos $T(C)=g(C)$ . Pero como $T$ es lineal, $T(C/k)=g(C/k)$ . Expandiendo,
$(A_{s(1)}+2A_{s(2)}+\cdots+nA_{s(n)}/(1+\cdots+n)=(A_{g(1)}+2A_{g(2)}+\cdots+nA_{g(n)})/(1+\cdots+n).$
Para cada $i \in \{1,...,n\}$ el coeficiente que multiplica $A_i$ es $s^{-1}(i)/(1+\cdots+n)$ en el lado izquierdo y $g^{-1}(i)/(1+\cdots+n)$ en el lado derecho. De ello se desprende que $s=g$ .
Creo que, tomando $n$ en cuenta, la relación $r'/r$ puede establecerse para fundamentar la segunda afirmación no probada. La primera afirmación no demostrada puede ser una consecuencia de la desigualdad de Jung.
EDIT: Con el argumento anterior, podemos representar un grupo finito de orden $n$ como el grupo de isometrías lineales de un determinado politopo en un $(n-1)$ -espacio de producto interno real.
Ahora bien, si un grupo finito $G$ de isometrías lineales de un $(n-1)$ -espacio de producto interno de dimensiones $V$ está dado, ¿podemos definir un politopo que tenga $G$ como su grupo de simetrías? Sí. Voy a dar una prueba de alguna manera informal.
Dejemos que $G=\{g_1,...,g_m\}$ . Sea $A=\{a_1,...,a_n\}$ sea el conjunto de vértices de un regular $n$ -simplex centrado en el origen de $V$ . Sea $S$ sea la esfera centrada en el origen que contiene $A$ y que $C$ sea la bola cerrada. Obsérvese que $C$ es la única bola cerrada mínima que contiene $A$ .
(Observación: El conjunto $A$ no necesita ser un simplex regular. Puede ser cualquier subconjunto finito de $S$ que cruza todos los posibles hemisferios de $S$ . $C$ seguirá siendo entonces sólo la mínima bola cerrada que lo contenga).
Observación: Una isometría de $V$ es lineal si fija el origen.
Antes de continuar, debemos asegurarnos de que el $m$ copias de $A$ obtenido al hacer $G$ actúan sobre ella son disjuntos. Si no es así, nuestro conjunto $A$ es inútil pero podemos encontrar una isometría lineal $T$ tal que $TA$ hace el trabajo. Consideramos el conjunto $M$ de todas las isometrías lineales con el operador métrico habitual, y buscar en él una isometría $T$ tal que para todo $(g,a)$ y $(h,b)$ elementos distintos de $GxA$ la ecuación $g(Ta)=h(Tb)$ no se sostiene. Porque cada uno de los $n\cdot m(n\cdot m-1)$ estropea un subconjunto cerrado de $M$ con interior vacío(*), la mayoría de las opciones de $T$ lo hará.
Dejemos que $K=\{ga: g \in G, a \in A\}$ . Sabemos que tiene $n\cdot m$ puntos, que están contenidos en la esfera $S$ . Ahora dejemos que $e$ sea una distancia menor que la cuarta parte de cualquiera de las distancias entre diferentes puntos de $K$ . Ahora, alrededor de cada vértice $a=a_i$ de $A$ hacer un dibujo $D_i$ . El dibujo consiste en un conjunto finito de puntos de la esfera $S$ , situado cerca de $a$ (a una distancia menor que $e$ ). Uno de los puntos debe ser $a$ y los demás (si los hay) deben estar al margen de $a$ y muy cerca el uno del otro, de modo que $a$ pueden distinguirse fácilmente. Además, para $i=1$ el dibujo $D_i$ no debe tener simetrías, es decir, no debe haber isometrías lineales que fijen $D_1$ que la identidad. Para otros valores de $i$ , establecemos $D_i={a_i}$ . El sindicato $F$ de todos los dibujos contiene $A$ pero no tiene simetrías. Obsérvese que cada dibujo tiene un diámetro inferior a $2\cdot e$ .
Ahora dejemos que $G$ actuar $F$ y que $Q$ sea la unión de los $m$ copias obtenidas. $Q$ es una unión de $n\cdot m$ dibujos. Los puntos de diferentes dibujos están separados por una distancia mayor que $2\cdot e$ . Por lo tanto, los dibujos pueden identificarse como los subconjuntos máximos de $Q$ con un diámetro inferior a $2\cdot e$ . Además, el balón $C$ puede identificarse como la única esfera con radio $r$ que contiene $Q$ . $S$ puede identificarse como la frontera de $C$ .
Demostremos que el conjunto de simetrías de $Q$ es $G$ . Es evidente que cada elemento de $G$ es una simetría. Sea $T$ sea una isometría que fije $Q$ . Debe arreglar $S$ por lo que debe ser lineal. Además, debe permutar los dibujos. Por lo tanto, debe enviar $D_1$ a algunos $gD_i$ con $g \in G$ y $1 \leq i \leq n$ . Pero $i$ debe ser 1, porque para otros valores de $i$ , $gD_i$ es un singleton. Así que tenemos $TD_1=gD_1$ . Desde $D_1$ no tiene simetrías no triviales, $T=g$ .
Hemos construido un conjunto finito $Q$ con grupo de simetrías $G$ . $Q$ no es un politopo, pero su casco convexo es un politopo, y $Q$ es el conjunto de sus puntos extremos.
(*) Demostrar que para cualquier $(g,a)$ y $(h,b)$ elementos distintos de $G \times A$ el conjunto de isometrías $T$ que satisface la ecuación $g(Ta)=h(Tb)$ tiene el interior vacío, observamos que si una isometría $T$ satisface la ecuación, cualquier isometría $T'$ con $T'a=Ta$ y $T'b\neq Tb$ debe hacer (ya que $h$ es inyectiva). Tal $T'$ puede encontrarse muy cerca $T$ , siempre y cuando $\dim V>2$ . La prueba no funciona para $n=1$ o $n=2$ pero estos son sólo los casos fáciles.
