Grupo de 1 parámetro de un campo vectorial

Question

Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana y $\nabla$ sea la conexión Levi-Civita de $g$ y que $X,Y$ sean campos vectoriales en $M$ . Si $\lbrace \phi _t \rbrace $ es el grupo de 1 parámetro de $X$ entonces cuál es la relación entre $\nabla _YX$ y $\phi _{t*}Y$ ( $\phi _{t*}$ es el diferencial de $\phi _t$ )?

Answer 1

La conexión Levi-Civita tiene torsión cero por lo que

$$ \nabla_XY- \nabla_Y X= [X,Y] . $$

Por otro lado, $[X,Y]$ es la derivada de Lie de $Y$ a lo largo de $X$ . Arnold llamó a esto el `` derivado del pescador '' debido a su descripción en términos de la acción del flujo $\Phi^t$ . (Tenga en cuenta que utilizo el tiempo $t$ como superíndice por razones tipográficas, y no sólo). Más concretamente

$$ [X, Y]_{p_0}=- \lim_{t\to 0} \frac{1}{t}\Bigl(\,\Phi^t_* Y(p_{-t})- Y(p_0)\,\Bigr),\;\;p_0\in M,\;\;p_t= \Phi^t(p_0),\;\;\forall t\in\mathbb{R}. $$

Para demostrar la última igualdad véase el apartado 3.1.1 de estas notas.

Answer 2

Denote $\phi_t = e^{t X}$ . Por definición de Derivada de Lie de un campo vectorial

$$ \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}e^{-t X}_* Y = [X,Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X.$$

La segunda igualdad se mantiene ya que la conexión Levi-Civita tiene torsión cero.