Funtor fiel si es inyectivo en los objetos

Question

Dejemos que $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ sea un functor exacto entre abelios categorías abelianas $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ . Demostrar que $F$ es fiel $\iff$ $F(C) \neq 0$ para cada objeto no nulo $C$ de $\mathcal{C}$

La implicación $\Rightarrow$ es simple: si $F(C)=0$ con $C=0$ entonces $$Hom_{\mathcal{C}}(C,C)\to Hom_{\mathcal{D}}(0,0)$$ no es inyectiva: $id_C\mapsto 0$ . No soy capaz de probar la otra implicación. Necesito que el functor sea aditivo. De hecho, si $f\neq 0$ entonces $Im(f)\neq 0$ entonces $F(Im(f))=Im(F(f))$ (se deduce de la exactitud de F) que es $\neq 0$ así que $F(f)\neq 0$ . Pero en general no puedo saber que es aditivo (creo que es cierto si $F$ es un isomorfismo de categorías)

Answer 1

Un mapa $f: A \to B$ encaja en una secuencia exacta $$0\to \ker f \to A \stackrel{f}\to B \to \operatorname{coker} f \to 0.$$ Bajo el functor exacto $F$ esto va a una secuencia exacta $$0\to F(\ker f) \to F(A) \stackrel{F(f)}\to F(B) \to F(\operatorname{coker} f) \to 0.$$ El mapa del medio $F(f)$ es cero si y sólo si los mapas $F(\ker f)\to F(A)$ y $F(B) \to F(\operatorname{coker}f)$ son isomorfismos. Asimismo, si $f$ no era el mapa cero, entonces lo que sabemos es que los mapas $\ker f \to A$ y $B \to \operatorname{coker} f$ no son ambos isomorfismos.

Así pues, basta con demostrar que si un mapa $g$ que podemos suponer que es inyectiva o sobreyectiva (es decir, $g$ es un monomorfismo o es un epimorfismo), no es un isomorfismo, entonces $F(g)$ tampoco es un isomorfismo. Nuestra suposición de que $F(C)$ no es cero si $C$ no es cero encaja aquí: si $g$ es inyectiva pero no sobreyectiva, sea $C = \operatorname{coker} g$ ; mientras que si $g$ es sobreyectiva pero no inyectiva, sea $C = \ker g$ . De ello se desprende que $F(g)$ no es un isomorfismo (tiene un cokernel no nulo o un kernel no nulo, respectivamente).