Conjuntos galoisianos de números primos

Question

La pregunta es sobre la caracterización de los conjuntos $S(K)$ de primos que se dividen completamente en una extensión galoisiana dada $K|\mathbb{Q}$ . ¿Tienen los resultados recientes, como la conjetura de modularidad de Serre (demostrada por Khare-Wintenberger), o ciertos casos de la conjetura Fontaine-Mazur (demostrada por Kisin), algo que decir sobre tales subconjuntos, más allá de lo que dice la Teoría de Campos de Clases?

A continuación, introduciré cierta terminología y recordaré algunos antecedentes.

Dejemos que $\mathbb{P}$ sea el conjunto de números primos. Para toda extensión galoisiana $K|\mathbb{Q}$ tenemos el subconjunto $S(K)\subset\mathbb{P}$ que consiste en aquellos primos que se dividen (completamente) en $K$ . Se trata de caracterizar dichos subconjuntos; los llamamos galoisian subconjuntos.

Si $T\subset\mathbb{P}$ es galoisiano, existe una extensión galoisiana única $K|\mathbb{Q}$ tal que $T=S(K)$ , cf. Neukirch (13.10). Decimos que $T$ es abeliano si $K|\mathbb{Q}$ es abeliana.

Como se ha comentado aquí recientemente, un subconjunto $T\subset\mathbb{P}$ es abeliano si y sólo si está definido por congruencias. Por ejemplo, el conjunto de primos $\equiv1\pmod{l}$ es lo mismo que $S(\mathbb{Q}(\zeta_l))$ . "Estar definido por congruencias" se puede precisar, y cuenta como una caracterización de subconjuntos abelianos de $\mathbb{P}$ .

Neukirch dice que la Filosofía de Langlands proporciona una caracterización de todos los subconjuntos galoisianos de $\mathbb{P}$ . ¿Se puede ilustrar ahora esta observación con algún ejemplo llamativo?

Apéndice (28/02/2010) Berger La reciente exposición de Bourbaki 1017 arXiv:1002.4111 dice que los casos de la conjetura Fontaine-Mazur han sido demostrados también por Matthew Emerton. No lo sabía en el momento de hacer la pregunta, y el único que respondió no dejó entrever que había tenido algo que ver con Fontaine-Mazur...

Answer 1

Creo que lo más fácil es ilustrar el papel del programa de Langlands (es decir, la teoría de campos de clase no abeliana) para responder a esta pregunta dando un ejemplo.

Por ejemplo, considere el campo de la clase Hilbert $K$ de $F := {\mathbb Q}(\sqrt{-23})$ ; se trata de una extensión abeliana de grado 3 de $F$ y un $S_3$ extensión de $\mathbb Q$ . (Es el campo de división del polinomio $x^3 - x - 1$ .)

La representación bidimensional de $S_3$ por lo que se obtiene una representación $\rho:Gal(K/{\mathbb Q}) \hookrightarrow GL_2({\mathbb Q}).$
Una prima $p$ se divide en $K$ si y sólo si $Frob_p$ es la clase de conjugación trivial en $Gal(K{\mathbb Q})$ si y sólo si $\rho(Frob_p)$ es la matriz identidad, si y sólo si la traza $\rho(Frob_p) = 2$ . (EDIT: Mientras $Frob_p$ es un 2-ciclo, resp. 3-ciclo, si y sólo si $\rho(Frob_p)$ tiene traza 0, resp. -1.)

Ahora tenemos la siguiente ley de reciprocidad para $\rho$ hay una forma modular $f(q)$ de hecho una eigenforma de Hecke, de peso 1 y nivel 23, cuya $p$ El segundo valor propio de Hecke da la traza de $\rho(Frob_p)$ . (Esto se debe a Hecke; la razón por la que Hecke podía manejar este caso es que $\rho$ incrustaciones $Gal(K/{\mathbb Q})$ como un diedro subgrupo de $GL_2$ y así $\rho$ es de hecho inducido a partir de un carácter abeliano del subgrupo de índice dos $Gal(K/F)$ .)

En este caso particular, tenemos la siguiente fórmula explícita:

$$f(q) = q \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)(1-q^{23 n}).$$

Si ampliamos este producto como $f(q) = \sum_{n = 1}^{\infty}a_n q^n,$ entonces encontramos que $trace \rho(Frob_p) = a_p$ (para $p \neq 23$ ), y en particular, $p$ se divide completamente en $K$ si y sólo si $a_p = 2$ . (Por ejemplo, se puede comprobar de esta manera que el primo dividido más pequeño es $p = 59$ ; esto está relacionado con el hecho de que $59 = 6^2 + 23 \cdot 1^2$ .). (EDIT: Aunque $Frob_p$ tiene orden $2$ resp. 3, si y sólo si $a_p =0$ , resp. $-1$ .)

Así obtenemos una descripción del conjunto de primos que se dividen en $K$ en términos de la forma modular $f(q)$ o más precisamente sus valores propios de Hecke (o lo que es lo mismo o lo que es lo mismo, sus $q$ -expansión).

El programa de Langlands afirma que una afirmación análoga es verdadera para cualquier extensión de Galois de campos numéricos $E/F$ cuando se le da a uno un continuo representación $Gal(E/F) \hookrightarrow GL\_n(\mathbb C).$ Esto se conoce como cuando $n = 2$ y la imagen de $\rho$ es solucionable (Langlands--Tunnell) o $F = \mathbb Q$ y $\rho(\text{complex conjugation})$ es no escalar (Khare--Wintenberger--Kisin). En la mayoría de los demás contextos permanece abierto.

Answer 2

Para añadir mi granito de arena al ya rico contenido de este sitio, he aquí un bonita familia de extensiones galoisianas $K_l|{\bf Q}$ con el grupo ${\rm GL}_2({\bf F}_l)$ (indexado por primos $l\neq5$ ) para los que se puede escribir una "ley de reciprocidad explícitamente. Me he encontrado con esta familia recientemente mientras escribía un artículo expositivo.

Dejemos que $E$ sea la curva elíptica (sobre $\bf Q$ ) del conductor $11$ definido por $y^2+y=x^3-x^2$ con la forma modular asociada $$ \eta_{1^2,11^2}=q\prod_{k>0}(1-q^k)^2(1-q^{11k})^2=\sum_{n>0}c_nq^n. $$ Dejemos que $K_l={\bf Q}(E[l])$ que es, por tanto, galoisiano sobre $\bf Q$ y sin ramificar en cada primo $p\neq11,l$ .

Se puede deducir del cor.1 en la p.308 de Serre (Inventiones 1972) que para cada primo $l\neq5$ la representación $$ \rho_{E,l}:{\rm Gal}(K_l|{\bf Q})\rightarrow{\rm GL}_2({\bf F}_l) $$ que obtenemos al elegir un ${\bf F}_l$ -base de $E[l]$ es un isomorfismo; cf. las notas en línea sobre la conjetura de Serre de Ribet y Stein. Shimura hizo esto para $l\in[9,97]$ (Crelle 1966).

Supongamos a partir de ahora que $l$ es un primo $\neq5$ y que $p$ es un primo $\neq11,l$ . El polinomio característico de $\rho_{E,l}({\rm Frob}_p)\in{\rm GL}_2({\bf F}_l)$ es $$ T^2-\bar c_pT+\bar p\in{\bf F}_l[X]. $$ El primer $p$ se divide completamente en $K_l$ si y sólo si ${\rm Frob}_p=1$ en ${\rm Gal}(K_l|{\bf Q})$ lo que ocurre si y sólo si $$ \rho_{E,l}({\rm Frob}_p)=\pmatrix{1&0\cr0&1}. $$ Si es así, entonces $p,c_p\equiv1,2\pmod l$ pero no a la inversa, para la matriz $\displaystyle\pmatrix{1&1\cr0&1}$ también tiene el polinomio característico $T^2-\bar2T+\bar1$ . Pero estas congruencias en $p,c_p$ descartan un montón de cosas de primos que no se dividen completamente en $K_l$ .

En resumen, tenemos la siguiente "ley de reciprocidad" para $K_l$ : $$ \hbox{($ p $ splits completely in $ K_l $)} \quad\Leftrightarrow\quad E_p[l]\subset E_p({\bf F}_p), $$ donde $E_p$ es la reducción de $E$ modulo $p$ . En efecto, la reducción modulo $p$ identifica $E[l]$ con $E_p[l]$ y la acción de ${\rm Frob}_p$ en la primera con la acción del generador canónico $\varphi_p\in{\rm Gal}(\bar{\bf F}_p|{\bf F}_p)$ en este último espacio. Decir que $\varphi_p$ actúa trivialmente sobre $E_p[l]$ es lo mismo que decir que $E_p[l]$ está contenida en la página web ${\bf F}_p$ -puntos racionales de $E_p$ . La analogía con el grupo multiplicativo grupo $\mu$ es perfecto: $$ \hbox{($ p\neq l $ splits completely in $ {\bf Q}(\mu[l]) $)} \quad\Leftrightarrow\quad \mu_p[l]\subset \mu_p({\bf F}_p) $$ ( $\Leftrightarrow l|p-1\Leftrightarrow p\equiv1\pmod l$ ), donde $\mu_p$ es no el $p$ -torsión de $\mu$ pero la reducción de $\mu$ modulo $p$ .

Le pedí a Tim Dokchitser que calculara los diez primeros $p$ que se dividió completamente en $K_7$ y su respuesta instantánea fue 4831, 22051, 78583, 125441, 129641, 147617, 153287, 173573, 195581 y 199501.

Es cierto que todo esto (excepto la lista de estos diez primos) se conocía antes de que se demostrara la conjetura de Serre (2006--9) o incluso formulada (1973--87), pero encuentro este ejemplo una muy buena ilustración del tipo de leyes de reciprocidad que proporciona.

Espero que lo hayan disfrutado tanto como yo.