No estoy seguro de los ingredientes que permite, pero aquí hay un boceto de prueba:
Dejemos que $A$ sea nuestro grupo abeliano f.g. Como $\mathbb Z$ es noetheriano, el subgrupo de torsión $A_{tors}$ también es f.g., y el cociente $A/A_{tors}$ es libre de torsión, y f.g. (siendo un cociente de algo f.g.). [Como se ha señalado en un comentario, más adelante demostraremos que $A_{tors}$ es un sumando directo de $A$ y, por tanto, el argumento de la noeterianidad no es realmente necesario].
(1) Si $A$ es f.g. y libre de torsión sobre $Z$ es gratis.
Prueba: Inducción sobre la dimensión de $V := {\mathbb Q}\otimes\_{\mathbb Z} A$ (que es fin. dimensional, ya que $A$ es f.g.).
Si esto es igual a $1$ entonces $A$ es un subgrupo f.g. de $\mathbb Q$ y la búsqueda de una denominador muestra que es cíclico. (Este es el algoritmo euclidiano).
En general, elija una línea $L$ en $V$ . Si $A \cap L = 0$ entonces $A$ se incrusta en $V/L$ La dimensión cae, y hemos terminado por inducción. (Por supuesto, esto no puede no puede ocurrir, pero no importa; no necesitamos demostrarlo aquí).
En caso contrario, tenemos $0 \rightarrow A\cap L \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow 0,$ y $B$ se incrusta en $V/L$ por lo que es libre por inducción, $A/A\cap L$ es f.g. (por noeterianismo de $\mathbb Z$ ) y se incrusta en $L$ , por lo que es libre por el dim. 1 caso. La libertad de $B$ hace que este s.e.s se divida, por lo que $A = A\cap L \oplus B$ es gratis.
(2) En general, $A = A\_{tors} \oplus \text{something free} .$
Prueba: Tenemos las e.s. $0 \rightarrow A_{tors} \rightarrow A \rightarrow A/A_{tors} \rightarrow 0.$ La parte (1) muestra que $A/A_{tors}$ es gratis, y entonces esta libertad nos permite dividir los s.e.s.
(3) Supongamos ahora $A$ es la torsión. Sus subgrupos Sylow son únicos (por abelianidad, aunque también hay muchas otras formas de demostrarlo), y todos tienen intersecciones intersecciones triviales, a $A$ es isomorfo a su suma directa.
(4) Ahora hemos reducido al caso $A$ es un $p$ -grupo abeliano de orden de potencia. Sea $p^e$ sea el exponente de $A$ Así que $A$ es un ${\mathbb Z}/p^e {\mathbb Z}$ -módulo. Elija un elemento $a \in A$ de orden $p^e$ . Entonces tenemos ${\mathbb Z}/p^e {\mathbb Z} \hookrightarrow A,$ una incrustación de ${\mathbb Z}/p^e {\mathbb Z}$ -módulos. Sinceramente ${\mathbb Z}/p^e$ es inyectiva sobre sí misma, ésta se divide. (Hay muchas formas elementales de demostrar esto, o de alterar el argumento: por ejemplo aplicar la dualidad de Pontrjagin, que para un grupo de exponente $p^e$ es sólo Homs a ${\mathbb Z}/p^e {\mathbb Z},$ para obtener una suryección de un ${\mathbb Z}/p^e {\mathbb Z}$ -módulo a ${\mathbb Z}/p^e {\mathbb Z}$ que luego debe dividirse, este último de rango uno; ahora aplique de nuevo la dualidad de Pontrjagin para obtener un desdoblamiento de la secuencia original original).
Continuando por inducción en el orden, escribimos $A$ como una suma de grupos cíclicos de $p$ -Orden de poder.
(5) Ahora hemos demostrado que cualquier f.g. $A$ es una suma directa de un grupo libre y de grupos cíclicos de orden de potencia primo. Es fácil reordenar esta información para obtener la clasificación en términos de divisores elementales.
Comentario: aunque esto no parezca tan hábil, creo que tiene el mérito de que las técnicas que utiliza son versiones elementales de los argumentos estándar del álgebra conmutativa para analizar módulos sobre cualquier anillo noetheriano conmutativo, a saber, varias técnicas de localización y desvío.
Por ejemplo, el argumento anterior se extiende inmediatamente al caso PID. En el paso (1), se utiliza la propiedad propiedad PID para encontrar un denominador común, en lugar del algoritmo euclidiano.
En el paso (3), se observa que $A_{tors}$ siendo de generación finita y de torsión, es aniquilado por algún ideal no nulo $I$ en el PID $R$ por lo que es un módulo sobre el anillo artiniano $R/I$ y también lo es la suma de sus localizaciones $A\_{\mathfrak p},$ donde $\mathfrak p$ abarca el número finito de ideales primos (no nulos, por lo tanto máximos) que contienen ideales primos que contienen $I$ .
EDIT: Si se quiere trabajar más en el espíritu de la clasificación por divisores elementales, y evitar trabajar un primo a la vez, uno puede combinar los pasos (3), (4), y (5) de la siguiente manera:
(3') Supongamos $A$ es una torsión f.g. Sea $e$ sea su exponente. Entonces es un ${\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ -y contiene un elemento de orden $e$ . Así, se tiene una incrustación ${\mathbb Z}/e{\mathbb Z} \hookrightarrow A,$ que debe dividirse (ya sea por la inyectividad argumento de (3), aplicado ahora a ${\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ o la dualidad de Pontrjagin de Pontrjagin). Procediendo por inducción, se escribe $A = \oplus {\mathbb Z}/e\_i{\mathbb Z},$ donde $e_i | e_{i-1},$ según sea necesario.
EDIT: Supongamos que se quiere demostrar directamente que ${\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ es inyectiva como módulo sobre sí mismo (como pregunta Martin más adelante): utilizando un criterio estándar de inyectividad de módulos sobre un anillo conmutativo, basta con demostrar que para cualquier ideal $I$ de ${\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ , cualquier mapa $I \hookrightarrow {\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ de se extiende a un mapa ${\mathbb Z}/e{\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ .
Esto es fácil de hacer: $I$ es de la forma $f {\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ para algunos $f | e$ . Equivalentemente, $I = ({\mathbb Z}/e{\mathbb Z})[e/f]$ (el $e/f$ -torsión submódulo). El mapa dado $I \rightarrow {\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ entonces aterriza necesariamente en $({\mathbb Z}/e{\mathbb Z})[e/f] = I,$ y un mapa $I \rightarrow I$ puede ciertamente extenderse a un mapa ${\mathbb Z}/e{\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}/e{\mathbb Z}$ , según sea necesario.
