Cálculo de la expectativa del cuadrado de una variable aleatoria: $ \text{E}[X^{2}] $ .

Question

¿Cuál es la regla de cálculo? $ \text{E}[X^{2}] $ , donde $ \text{E} $ es el operador de expectativa y $ X $ ¿es una variable aleatoria?

Dejemos que $ S $ sea un espacio muestral, y sea $ p(x) $ denotan la función de masa de probabilidad de $ X $ .

Es $$ \text{E}[X^{2}] = \sum_{x \in S} x^{2} \cdot p(x), $$ o también tengo que cuadrar el $ x $ que aparece en $ p(x) $ ?

Answer 1

En general, si $ (\Omega,\Sigma,P) $ es un espacio de probabilidad y $ X: (\Omega,\Sigma) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) $ es un valor real variable aleatoria, entonces $$ \text{E}[X^{2}] = \int_{\Omega} X^{2} ~ d{P}. $$ Aunque esta fórmula funciona para todos los casos, rara vez se usa, especialmente cuando se $ X $ se sabe que tiene ciertas propiedades atractivas.

Ejemplos:

• Si $ X $ es una variable aleatoria discreta (es decir, su función de distribución acumulativa (cdf) es un paso a la función) y $ p $ es su función de masa de probabilidad (fmp), entonces podemos usar la fórmula $$ \text{E}[X^{2}] = \sum_{x \in \text{Rango}(X)} x^{2} \cdot p(x). $$

• Si $ X $ es absolutamente continua de la variable aleatoria (es decir, su cdf es absolutamente una función continua), entonces tiene una función de densidad de probabilidad (pdf) $ f $. Por lo tanto tenemos la fórmula $$ \text{E}[X^{2}] = \int_{\mathbb{R}} x^{2} f(x) ~ d{\mu(x)}, $$ donde $ \mu $ es el estándar de la medida de Borel en $ \mathbb{R} $. Por supuesto, si $ f $ es continua, entonces podemos calcular el impropia de Riemann integral $$ \text{E}[X^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f(x) ~ d{x}. $$