La fórmula de Burnside en un hexágono

Question

Estaba tratando de usar la fórmula de Burnside en un hexágono regular. Creo que la respuesta es $13$ pero estoy tratando de mostrar mi trabajo. Esto es lo que he descubierto.

$$\frac{1}{12}(2^6 + 36 + 30 + \cdots?)$$

$2^6$ est $D_{6}$ (al menos así creo que se llama el hexágono regular). Luego reflejé sobre los vértices. Esto me dio $3$ diferentes reflexiones posibles con $12$ diferentes formas posibles que es $36$ . Luego reflexioné sobre los puntos medios. Esto me dio $3$ diferentes reflexiones posibles con $10$ diferentes formas posibles que es $30$ . Ahora las rotaciones me resultan un poco confusas.

Answer 1

La acción sobre el grupo diedro en el hexágono se ilustra a continuación:

El número de asignaciones de $2$ colores a los vértices que son preservados por un elemento del grupo $\alpha$ est $$2^{\text{Number of vertex orbits under } \langle \alpha \rangle}$$ ya que a cada órbita de vértice se le puede asignar cualquier color, y todos los vértices de cualquier órbita deben tener el mismo color.

A continuación se resaltan las órbitas de los vértices correspondientes a los elementos del grupo de arriba (a los vértices de la misma órbita se les asigna el mismo color):

Introduciendo esto en Lemma de Burnside da el número de asignaciones de $2$ colores (no equivalentes bajo rotaciones y reflexiones) como $$\tfrac{1}{12}(2^6 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^3 + 2^4 + 2^3 + 2^4 + 2^3 + 2^4)=13.$$

Precisamente dos de estas asignaciones no equivalentes de $2$ los colores tienen todos los colores iguales: cuando son todos blancos, y cuando son todos negros. Eso deja $11$ asignaciones no equivalentes de $2$ a los vértices en los que se utilizan ambos colores.

Answer 2

He votado la primera respuesta, pero me gustaría mostrar cómo calcular el índice de ciclo $Z(D_6)$ del grupo diédrico $D_6$ y aplicar la Polya Teorema de Enumeración a este problema.

Tenemos que enumerar y factorizar las doce permutaciones que contribuyen a $Z(D_6).$

Está la identidad, que contribuye $$a_1^6.$$ Las dos rotaciones por una distancia de uno y cinco contribuyen $$2 a_6.$$ Las dos rotaciones por una distancia de dos o cuatro contribuyen $$2 a_3^2.$$ Finalmente la rotación por una distancia de tres contribuye $$a_2^3.$$

Hay tres reflexiones en torno a un eje que pasa por lugares opuestos vértices opuestos, dando $$3 a_1^2 a_2^2$$

y tres reflexiones en torno a un eje que pasa por los puntos medios de bordes opuestos, dando $$3 a_2^3.$$

De este modo se obtiene finalmente el índice de ciclo $$Z(D_6) = \frac{1}{12} \left(a_1^6 + 2a_6 + 2a_3^2 + 3a_1^2 a_2^2 + 4a_2^3\right).$$

Coloreando el hexágono con un máximo de dos colores obtenemos $$Z(D_6)(A+B)_{A=1, B=1}.$$

Esto da como resultado $$\frac{1}{12} \left(2^6 + 2\times 2 + 2\times 2^2 + 3\times 2^2 \times 2^2 + 4 \times 2^3\right)$$ que se evalúa como $$13.$$

Hay una lista de cálculos similares en MSE Meta .