Espacios Pre-Hilbert y el Teorema de la Representación de Riesz.

Question

Estoy buscando un ejemplo de un espacio de Hilbert $(H,\langle \cdot,\cdot\rangle)$ que satisfaga lo siguiente:

En $H$ existe un elemento $a$ tal que $(H \backslash \{a\},\langle \cdot,\cdot\rangle)$ es un espacio pre-Hilbert tal que el teorema de la representación de Riesz falla.

He considerado $L^2(\Omega)$ con $\Omega \subset \mathbb{R}$ y la medida de Lebesgue pero no han llegado muy lejos. El teorema de la representación de Riesz afirma que para $f \in H^*$ existe un único $x_o \in H$ tal que $f(x)=\langle x, x_o \rangle$ . Si elimináramos $x_o$ de $H$ entonces $H \backslash \{x_0\}$ falla al teorema de Reiez, pero esto puede fallar al ser un espacio vectorial normado dependiendo de lo que $x_o$ es elegido.

Answer 1

Como señala Berci, la eliminación de un punto cualquiera de un espacio vectorial no da lugar a un subespacio vectorial (si se elimina $x$ y $v\neq x$ entonces $x=v+(x-v)$ (por lo que el nuevo conjunto no está cerrado por adición), por lo que, como se ha dicho, tu pregunta no tiene mucho sentido. Lo que sí tiene sentido es preguntar por un subespacio no cerrado de un espacio de Hilbert (es decir, un espacio pre-Hilbert) que no satisfaga el teorema de la representación de Riesz.

Para este ejemplo, consideremos el subespacio $C([0,1])$ del espacio de Hilbert $L^2([0,1])$ y considerar la función lineal continua $\lambda$ en $C([0,1])$ (continua con respecto a la $2$ -), dada por $$\lambda(f)=\int_0^{1/2}f=\int_0^1f\chi_{[0,1/2]}.$$ Desde $\chi_{[0,1/2]}$ no es a.e. igual a una función continua, se deduce que $\lambda$ no es de la forma $\lambda(f)=\langle f,g\rangle$ para algunos $g\in C([0,1])$ .