Demostrar que la derivada de la inversa existe

Question

Dejemos que $f$ sea diferenciable e invertible alrededor de $a, f(a) = b, f(a + h) = b + k$ .
Para cualquier función $G$ Cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

1) $\lim_{h\to 0}G(h)=L\iff \lim_{k\to 0}G(h)=L$
2) $\lim_{h\to 0}\frac{G(h)}{h}=0\iff \lim_{k\to 0}\frac{G(h)}{k}=0$

¿Cómo puedo demostrar que $(f^{1})(b)$ ¿existe?

Es la pregunta 4(d) de la página 2 de este documento .

EDITAR:
El problema que se plantea en el enlace considera la situación $ f(a) = b, f(a + h) = b + k$ y trata de determinar en qué condiciones la demanda $k \rightarrow 0$ equivale a $h \rightarrow 0$ .

La pregunta original 4 supone $f$ es continuamente diferenciable y $f'(a)\neq 0$ entonces en algún barrio U de a, $mh \le k \le Mh$ donde ambos $m,M >0$ o ambos $m,M<0$ por el Teorema del Valor Medio. Por lo tanto, en U existe una correspondencia uno a uno entre los valores de h y los valores de k.

En las subpreguntas de la a) a la c), se pide que se demuestre lo siguiente mediante $\epsilon-\delta$ y asumiendo $mh \le k \le Mh$ $(m,M > 0)$ para cualquier función G:

a) $\lim_{h\to 0}G(h)=L\iff \lim_{k\to 0}G(h)=L$
b) $\lim_{h\to 0}\frac{G(h)}{h}=0\iff lim_{h\to 0}\frac{G(h)}{k}=0$
c) $\lim_{h\to 0}\frac{G(h)}{h}=0\iff \lim_{k\to 0}\frac{G(h)}{k}=0$

En la subpregunta d) se pregunta cuál es la relevancia de las partes anteriores de la pregunta para la demostración de que si f es invertible alrededor de a, y $f'(a)\neq 0$ entonces $(f^{1})(b)$ existe.

¿Es la parte de este post antes de EDIT lo que la sub-pregunta d) está pidiendo? ¿Cómo puedo resolver la subpregunta d)? Se agradece cualquier idea.

Answer 1

La derivada de la inversa existe si y sólo si $f'(a) \neq 0$ y entonces tenemos $(f^{-1})'(b)=1/f'(a)$ .

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Tenga en cuenta que la variable $k$ definido por $$f(a+h) =f(a) +k\tag{1}$$ tiende a $0$ como $h\to 0$ y al mismo tiempo $k\neq 0$ como $h\to 0$ porque $f$ es continua e invertible y, por tanto, unívoca en torno a $a$ .

Ahora dejemos que $g$ sea la inversa de $f$ y $g(b) =a$ . Desde $f$ es continua alrededor de $a$ se deduce que $g$ es continua alrededor de $b$ . Ahora podemos ver que si definimos $$g(b+k) =g(b) +h\tag{2}$$ entonces esto es equivalente a la ecuación anterior $(1)$ (sólo aplicar $f$ a ambos lados de $(2)$ ). Dado que $k/h\to f'(a) $ como $h\to 0$ y $f'(a) \neq 0$ se deduce que $h/k\to 1/f'(a)$ como $h\to 0$ . De la ecuación $(2)$ y la continuidad de $g$ se deduce que como $k\to 0$ debemos tener $h\to 0$ y por $(1)$ tenemos $h\neq 0$ . Por lo tanto, podemos decir que $h/k\to 1/f'(a)$ como $k\to 0$ . Así, podemos ver que $g'(b) =1/f'(a)$ .

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No creo que se necesiten pasos complicados como a, b, c y $\epsilon, \delta$ es un exceso para este problema. Lo importante es que como $h\to 0$ tenemos $k\to 0,k\neq 0$ y como $k\to 0$ tenemos $h\to 0,h\neq 0$ . Ambas afirmaciones se desprenden del hecho de que $f$ es continua e invertible alrededor de $a$ .

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Obsérvese además el siguiente resultado que se desprende directamente de la definición de límite

Que las variables $h, k$ estén conectados por una relación funcional tal que como $h\to 0$ tenemos $k\to 0,k\neq 0$ y como $k\to 0$ tenemos $h\to 0,h\neq 0$ . Entonces, la operación límite $\lim_{h\to 0}$ puede ser sustituido por la operación límite $\lim_{k\to 0}$ y viceversa.

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