Un bestiario de topologías sobre Sch

Question

La categoría de los esquemas tiene un gran (y para mí, ligeramente desconcertante) número de lo que parecen diferentes (pre)topologías de Grothendieck. Zariski, vale, lo entiendo. Etale, está bien, creo. ¿Nisnevich? pff, ni hablar. Hay varias ideas sobre pilas que me gustaría probar, pero los sitios con los que estoy más familiarizado tienen pocas topologías ricas en aplicaciones. (Los colectores lisos y de dimensiones finitas son particularmente aburridos en este sentido, y los espacios topológicos no son mucho mejores)

Lo que busco es una tabla que enumere las topologías conocidas/comunes en $Sch$ y su "finura" relativa. O, si se quiere, de contención. Tenemos, por supuesto, la topología canónica. ¿Existe una caracterización de la misma en términos de propiedades esquemáticas, a diferencia de la definición categórica obvia?

Y además, uno espera que para los esquemas agradables, varias topologías se fusionen, digamos que un tipo de cubiertas se convierte en cofinal en otro, cuando se restringe a una subcategoría de $Sch$ . Digamos que aquellos esquemas que son noetherianos, suaves o incluso sólo variedades.

Luego hay cosas como cuando las categorías de gavillas, o las 2-categorías de pilas, son equivalentes. Pero tal vez esto es pedir demasiado.

Tal vez busque algo como 'Contraejemplos en Grothendieck topologías". ¿Existe algo así, todo en un solo lugar? Estoy seguro de que todo está ahí en SGA, o en el proyecto stacks, o en Foundations of Algebraic Geometry de Vakil, pero yo busco la esencia destilada.

P.D. Me interesan las cosas que son (pre)topologías aunque no suelan usarse como tales a efectos de las gavillas.

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EDIT: No busco simplemente ejemplos de topologías de Grothendieck en $Sch$ Aunque eso es muy útil. Quiero una referencia, si la hay, o simplemente una respuesta directa, que compare las distintas topologías en $Sch$ y en qué circunstancias (restringiendo $Sch$ a una subcategoría) coinciden.

Por ejemplo, ¿una cubierta fppf de una variedad tiene secciones locales sobre una cubierta etale? ¿Las topologías fppf y fpqc dan lugar a las mismas gavillas sobre un esquema de buen comportamiento? ¿Es la topología etale estrictamente "más débil" que alguna otra topología, independientemente de los esquemas que se consideren? ¿Se obtienen las mismas pilas de Deligne-Mumford para la topología A y la topología B?

(Se acabó el refunfuño)

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La figura 1 de la página 7 de estas notas da algunas más de las (pre)topologías menos comunes: cdp, fps $\ell'$ etc.

Answer 1

La respuesta básica es esencialmente la que describe Emerton en el comentario. Las topologías más utilizadas en los esquemas son Zariski, Nisnevich, étale, smooth, syntomic, fppf y fpqc, y esta lista está totalmente ordenada por finura creciente. La topología canónica es más fina que la topología fpqc, pero nunca he visto que se utilice explícitamente. Puedes ver una discusión de estas topologías (además de Nisnevich ) en el Capítulo del proyecto Stacks sobre topologías en esquemas .

Preguntas sobre restringir a subcategorías de esquemas para obtener topologías equivalentes, pero creo que tendrías que tomar subcategorías inusualmente pequeñas. Por ejemplo, las topologías étale y Nisnevich coinciden en los espectros de los campos sólo cuando los campos son separablemente cerrados. Si las cubiertas de Nisnevich de un esquema son cubiertas de Zariski, entonces el esquema es de dimensión cero. Las coberturas lisas y éstales coinciden si se restringe a, digamos, variedades de una sola dimensión fija. Creo que lo mismo ocurre con las coberturas sintómica y lisa y fppf y sintómica (pero no estoy nada seguro). Si restringes tus esquemas a ser localmente finitos sobre una base fija, entonces fppf y fpqc coinciden. Aunque las topologías étale y suave no suelen ser equivalentes, dan lugar a categorías de gavillas equivalentes, porque toda cubierta suave tiene un refinamiento étale.

El proyecto Stacks tiene una lista de propiedades que satisfacen las diferentes topologías, en el Capítulo sobre el descenso . Bjorn Poonen también tiene una tabla de propiedades de permanencia en el Apéndice C de sus notas sobre Puntos racionales en variedades .

Si realmente espera un conjunto de topologías parcialmente ordenadas de aspecto más interesante, puede considerar ejemplos más exóticos como la topología cdh (más fina que Nisnevich, incomparable con étale), y la topología ingenua fpqc, cuyas coberturas son mapas cuasi-compactos fielmente planos (incomparables con la mayor parte de la lista). Esta última suele ser utilizada por la gente sólo cuando se equivoca.

Answer 2

Acabo de descubrir un gráfico de comparación de topologías en Sch/S hecha por Pieter Belmans. Incluye todas las topologías comentadas anteriormente y algunas más de las que no he oído hablar. Incluso es interactivo e incluye definiciones y otra información.

Answer 3

Aquí hay un pequeño punto en respuesta a esta pregunta:

El sitio étale y el sitio fppf tienen las mismas pilas algebraicas.

Aquí estoy diciendo 'pila algebraica' para una pila de groupoides con una suryección suave representable desde un esquema.

Si además restringimos a pilas algebraicas con diagonal cuasi afín, entonces tenemos:

El sitio étale y el sitio fpqc tienen las mismas pilas algebraicas de este tipo.

Esto lo aprendí de las notas sobre las pilas de Anatoly Preygel .

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Algunos datos más del Proyecto Stacks:

• las cubiertas lisas pueden ser refinadas por las cubiertas etale (etiqueta 055V)

• La etiqueta 02LH también podría ser útil, si podemos identificar qué tipo de mapa $\coprod_{i=1}^n T_i \to T \to S$ es:

  Dejemos que $f : U \to S$ sea un morfismo etaliano sobreyectivo de esquemas afines. Existe un morfismo suryectivo, finito y localmente libre $\pi : T \to S$ y una cobertura abierta finita $T = T_1 \cup \ldots \cup T_n$ de manera que cada $T_i \to S$ factores a través de $U \to S$ . si

• Dada una pila algebraica $X$ (definida como en el proyecto Stacks), podemos encontrar una presentación por un groupoide liso $R\rightrightarrows U$ en espacios algebraicos (es decir, la fuente y el objetivo son suaves, y tenemos una equivalencia $[U/R] \to X$ ). La etiqueta 04T5 nos dice que $X$ también es equivalente a la pila $[U'/R']$ donde $R' \rightrightarrows U'$ es una presentación con origen y destino planos y localmente de presentación finita (por lo que existe una suryección que es plana y localmente de presentación finita $U' \to X$ ).

Answer 4

``Por ejemplo, ¿una portada de fppf de una variedad tiene secciones locales por encima de una portada de etale?'' (Me doy cuenta de que la pregunta es una "visión de conjunto", por lo que centrarse en un pequeño aspecto es perder el punto, pero lo hago de todos modos). No. Tomemos un morfismo $f:S\to C$ con $S$ una superficie y $C$ una curva, tanto $S$ y $C$ suave sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Supongamos que la fibra geométrica genérica es singular; existen tales en característica positiva. Digamos que $D\subset S$ es el lugar de las singularidades; se trata de una curva, inseparable sobre $C$ . Ahora localizar: estrictamente henselizar $C$ en un punto cerrado $P$ y henselizar estrictamente $S$ en un punto de $D$ en $P$ . Ahora tenemos $S'\to C'$ , una cubierta fppf de $C'$ . Si hubiera una sección sobre una cubierta de etale de $C'$ entonces habría una sección, digamos $E$ . Esta es una curva en $S'$ con multiplicidad de intersección $1$ con la fibra genérica, mientras que se encuentra con la fibra sobre $P$ con una multiplicidad de al menos $2$ contradicción.

Answer 5

Otra respuesta parcial.

Citando la página de wikipedia sobre Topología de Nisnevich :

• La topología cdh permite morfismos biracionales adecuados como coberturas.
• La topología qfh permite las alteraciones de De Jong como coberturas.
• La topología l′ permite morfismos como en la conclusión del teorema de uniformización local de Gabber.

Las topologías cdh y l′ son incomparables con la topología étale, y la topología qfh es más fina que la topología étale.

Por supuesto, ¿podemos comparar las topologías cdh y l' con otras topologías?