Tal vez sea útil que resuma lo poco que creo saber. Una CFT 2D asigna un espacio de Hilbert ${\cal H}$ a un círculo y un operador $$A(X): {\cal H}^{\otimes n}\rightarrow {\cal H}^{\otimes m}$$ a una superficie de Riemann $X$ con $n$ fronteras de entrada y $m$ límites de salida. Estos datos están sujetos a las condiciones naturales derivadas de la costura de las superficies.
Así es como entiendo la relación con la teoría de cuerdas. El espacio de Hilbert ${\cal H}$ podría ser el espacio de las funciones sobre el espacio de configuración de una cuerda que se encuentra en un colector $M$ . Así que ${\cal H}=L^2(Maps(S^1,M))$ con algunas restricciones adecuadas en los mapas. Es natural entonces que las funciones sobre el espacio de configuración de $n$ círculos es ${\cal H}^{\otimes n}$ . Ahora consideramos $n$ cuerdas evolucionando hacia $m$ cuerdas. Hay muchas formas de hacerlo, una para cada superficie de Riemann $X$ como en el caso anterior. Cuando $X$ es fijo, $A(X)$ es el operador de evolución, normalmente descrito en términos de alguna trayectoria integral sobre mapas de $X$ en $M$ que implica una conformación invariante funcional.
Todo esto tiene un mínimo de sentido. Así que ${\cal H}$ es el espacio de Hilbert que surge de la cuantización del haz cotangente del haz de $Map(S^1,M)$ , mientras que $A$ describe la evolución del tiempo. Así que en este sentido, tal teoría de campo conforme parece ser la cuantificación de la cuerda clásica. Supongo que lo que falta en mi descripción hasta aquí es la receta para convertir funciones en $T^*Map(S^1,M)$ en operadores de ${\cal H}$ . A mi entendimiento deficiente, tal vez esta situación corresponde a haber cuantificado sólo el hamiltoniano.
Ahora, lo que realmente me preguntaba era esto: Cuando estaba en la escuela de posgrado recuerdo haber escuchado con frecuencia la frase
La teoría CFT es el espacio de soluciones clásicas de la cuerda de cuerdas.
¿Tiene esto algún sentido? Y si es así, ¿qué significa? Esta frase ha estado obstaculizando mi comprensión de la teoría de campos conformes desde entonces, haciéndome sentir que mi comprensión de la física es totalmente errónea. Según los párrafos anteriores, mi formulación ingenua habría sido sido:
La cuantificación de una teoría de cuerdas da lugar a una CFT.
¿Qué hay de malo en este punto de vista ingenuo? Si pudiera proporcionar alguna aclaración al respecto, habrás resuelto un antiguo picazón cognitiva en el fondo de mi mente.
Gracias de antemano.
Añadido:
Como sugiere José, simplemente podría estar recordando mal, o haber entendido mal antes lo que escuché. Eso, de hecho, es lo que esperaba que fuera el caso. Pero lee, por ejemplo, la primera página del famoso artículo de Moore y Seiberg "Classical and quantum conformal field theory":
Añadido de nuevo:
Para citar a Moore y Seiberg con más precisión, la segunda frase del artículo dice: "Las teorías de campo conformes son soluciones clásicas de las ecuaciones de movimiento de las cuerdas". Ahora bien, podría intentar entender esto de la siguiente manera. Cuando la superficie de Riemann es $$S^1\times [0,t]$$ (con la estructura conforme inducida por la métrica estándar) se interpreta $$A(S^1\times [0,t])$$ como $$e^{itH}.$$ Así, cuando se aplica a un vector $\psi_0\in {\cal H}$ la teoría generaría una solución a la ecuación de Schroedinger $$\frac{d}{dt}\psi =iH \psi$$ con la condición inicial $\psi_0$ como $t$ varía. Así, se puede pensar en los distintos $A(X)$ como $X$ varía por ser "soluciones generalizadas" de la ecuación de Schroedinger para una cuerda cuantizada. Supongo que podría acostumbrarme a esa idea (si es correcta). Pero entonces, la pregunta sigue siendo: ¿por qué ellos (y otros) dicen clásico ¿Soluciones? ¿Hay algún tipo de segunda cuantificación en mente con este uso?
Añadido, 11 de octubre:
Aun a riesgo de aburrir a los expertos, voy a hacer una prueba más. Jeff Harvey parece indicar lo siguiente. Podemos pensar en $Map(X, M)$ como los campos de un modelo sigma no lineal en $X$ , pensada provisionalmente como un espaciotiempo de 1+1 dimensiones. Sin embargo, parece que también se puede asociar a la situación un espacio de campos en $M$ (¿los campos de las cadenas?). Si denotamos por ${\cal F}$ este espacio de campos, parece que hay un funcional $S$ en ${\cal F}$ con la propiedad de que los extremos de $S$ (las "ecuaciones de movimiento de las cuerdas") pueden interpretarse como las $A(X)$ . Desde esta perspectiva, mi pregunta principal podría ser entonces "¿qué es ${\cal F}$ ?' Desde que pienso en los campos en $M$ como secciones de algún paquete en $M$ No veo cómo sacar tal cosa de los mapas de $X$ a $M$ .
Muchas gracias por su paciencia con estas preguntas ignorantes.
Adición final, 11 de octubre:
Gracias a la amable orientación de José, Aarón y, sobre todo, de Jeff, creo que tengo una cierta comprensión de la situación. Intentaré resumirla ahora, por muy superficial que sea mi conocimiento. No quiero hacer perder más tiempo a los expertos en esta cuestión. Sin embargo, espero que los errores verdaderamente atroces ofendan su sensibilidad lo suficiente como para provocar al menos un grito de indignación, lo que me permitiría mejorar mi pobre comprensión. Pido disculpas de antemano por poner aún más afirmaciones que son triviales o erróneas.
Por lo que veo, el sentido de la frase de Moore y Seiberg es el de mi segundo añadido: se refiere a la segunda cuantización. Recordemos que en este proceso, las funciones de onda de una sola partícula se convierten en los campos clásicos, y la ecuación de Schroedinger es la ecuación clásica del movimiento. Ahora el punto verdaderamente elemental que se me escapaba (como me temía), es que
La cuantificación de una teoría de cuerdas de "una sola partícula" no puede dar una teoría de campo conforme.
A lo sumo, una sola cadena se propagará por el espacio, dándonos exactamente los operadores $A(S^1\times [0,t])$ . Si queremos que los operadores $$A(X):{\cal H}^{\otimes n}\rightarrow {\cal H}^{\otimes m}$$ correspondiente a una superficie de Riemann con muchos límites, entonces ya estamos requiriendo una teoría en la que los números de las partículas pueden cambiar, es decir, una teoría cuántica de campos procedente de la segunda cuantización. Con una teoría de este tipo, por supuesto, la $A(S^1\times [0,t])$ son exactamente las soluciones de las ecuaciones de movimiento clásicas, mientras que las generales $A(X)$ pueden verse como "soluciones clásicas generalizadas" (espero que esta expresión sea razonable) o como contribuciones a una serie de perturbaciones, como en la teoría de campo de una partícula puntual. Así que esto, creo, ya responde a mi pregunta original. Para repetir, debido al cambio del 'número de partícula'
los operadores de la teoría del campo conforme no pueden ser la cuantización de una teoría de "una sola partícula". Deben interpretarse como operadores de evolución clásica de algún tipo de teoría de campo cuántica (de cuerdas).
La parte que todavía estoy muy, muy lejos de entender, incluso superficialmente, es esta: Los campos clásicos en el caso de las cuerdas serían algo así como funciones sobre $Map(S^1, M)$ . No tengo ni la más remota idea de cómo pasar de esto a los campos en el espaciotiempo. La dificultad que rodea esta cuestión parece discutirse en las primeras páginas del artículo de Zwiebach al que se refiere Jeff, que es una lectura bastante pesada para un matemático puro como yo. Se mencionan algunos campos infinitos que surgen de la situación (a los que también alude Jeff), lo que tal vez sea una forma de convertir los datos de una función en el espacio de bucles en campos en el espacio(-tiempo).
