Sistema de ecuaciones cuadráticas $x^2 + y = 4$ y $x + y^2 = 10$

Question

¿Cómo resolverías el siguiente sistema de ecuaciones? $$ x^2 + y = 4 \\ x + y^2 = 10 $$ ¡Muchas gracias!

He intentado definir y en términos de x y luego insertarla en la segunda ecuación:

$$ y = 4 - x^2 \\ x + (4 - x^2)^2 = 10 $$

Expande la segunda ecuación:

$$ x + 16 - 8x^2 + x^4 = 10 $$

Reordena los términos:

$$ x^4 - 8x^2 +x + 6 = 0 $$

Intenté factorizar este polinomio para simplificarlo para resolverlo, pero no lo conseguí :(

Answer 1

$$y=4-x^2$$ ponerlo en la 2ª ecuación

$$x+(4-x^2)^2=10$$ $$x+16+x^4-8x^2=10$$ $$x^4-8x^2+x+6=0$$ $$x^4-x^3+x^3-7x^2-x^2+7x-6x+6=0$$ $$x^4-x^3+x^3-x^2-7x^2+7x-6x+6=0$$

$$x^3(x-1)+x^2(x-1)-7x(x-1)-6(x-1)=0$$ $$(x-1)(x^3+x^2-7x-6)=0\implies x-1=0\implies x=1$$

resolver la ecuación anterior uno de los valores de x=1 e y=3

Answer 2

Para resolver ecuaciones generales de la forma $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ requiere fórmula cuártica .