Son secciones de haces vectoriales $E\to X$ sobre esquemas necesariamente cerrados incrustados?

Question

Una breve pregunta, si $\pi\colon E\to X$ es un haz vectorial sobre un esquema $X$ ¿es automático que cualquier sección $s\colon X\to E$ ¿siempre es una incrustación cerrada?

Answer 1

En primer lugar, una observación general:

Si $p : Y \to X$ es un separado morfismo de esquemas y $s : X \to Y$ satisface $p \circ s = \mathrm{id}_X$ entonces $s$ es una incrustación cerrada.

En efecto, bajo las hipótesis, tenemos el siguiente diagrama de retroceso, $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>{s}>> Y \\ @V{s}VV @VV{\Delta}V \\ Y @>>{\langle s \circ p, \mathrm{id}_Y \rangle}> Y \times_X Y \end{CD}$$ y $\Delta : Y \to Y \times_X Y$ es una incrustación cerrada por definición, por lo que $s : X \to Y$ es efectivamente una incrustación cerrada.

A continuación, debemos demostrar que la proyección de un haz vectorial es un morfismo separado. Pero las proyecciones de haces vectoriales son morfismos afines, por lo tanto separados en particular.