Consideremos una variable aleatoria condicional
\begin{equation} X = \begin{cases} Y & \quad\quad ,X \in A \\ Z & \quad\quad ,X \in A^\complement \end{cases} \end{equation}
$Y$ y $Z$ son variables aleatorias acotadas, ambas estrictamente positivas, continuas y $A$ es algún evento. Estoy interesado en el límite superior de $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| > \epsilon)$ . Así que empiezo de la siguiente manera
\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| > \epsilon) &= \mathbb{P}(|Y\boldsymbol{1}_A - \mathbb{E}[Y\boldsymbol{1}_A] + Z\boldsymbol{1}_{A^\complement} - \mathbb{E}[Z\boldsymbol{1}_{A^\complement}]| > \epsilon) \\ &\leq \mathbb{P}(|Y\boldsymbol{1}_A - \mathbb{E}[Y\boldsymbol{1}_A]| + |Z\boldsymbol{1}_{A^\complement} - \mathbb{E}[Z\boldsymbol{1}_{A^\complement}]| > \epsilon) \\ &\leq \mathbb{P}(|Y - \mathbb{E}[Y\boldsymbol{1}_A]| + |Z - \mathbb{E}[Z\boldsymbol{1}_{A^\complement}]| > \epsilon) \\ &\leq \mathbb{P}(\max\left\{|Y - \mathbb{E}[Y\boldsymbol{1}_A]|, |Z - \mathbb{E}[Z\boldsymbol{1}_{A^\complement}]|\right\} > \frac{\epsilon}{2}) \\ &\leq \mathbb{P}(|Y - \mathbb{E}[Y\boldsymbol{1}_A]| > \frac{\epsilon}{2}) + \mathbb{P}(|Z - \mathbb{E}[Z\boldsymbol{1}_{A^\complement}]| > \frac{\epsilon}{2}) \end{aligned} \end{equation}
Ahora, ¿cómo puedo deshacerme de las expectativas condicionales? La eliminación de los indicadores violará el límite superior en la última línea. ¿Cómo obtengo los límites de concentración para la variable condicional $X$ . ¿Existe una variante condicional de la desigualdad de Hoeffding que pueda utilizarse en este caso?
