Entender la categoría de la coma $(1 \downarrow K)$ para $K : D \rightarrow \mathbf{Set}$

Question

Desde Categorías para el matemático que trabaja pág. 76:

El problema: Tengo bastantes problemas para entender lo que el autor quiere decir con la categoría de la coma $(1 \downarrow K)$ :

1. ¿Qué es? $1$ ? ¿La categoría de 1 elemento? O el functor de identidad en $D$ ?
2. ¿Por qué dice el autor que los objetos tienen la forma $(d,x)$ de elementos $x \in K(d)$ . ¿No quiere decir $x = K(d)$ ?
3. ¿Se trata de una categoría coslice, o de una categoría general de comas de este formulario ? Asumo que es esto último, pero entonces estoy confundido ya que las flechas no toman la forma de tuplas de flechas de $D$ .

Supongo que estoy buscando la definición precisa de lo que el autor quiere decir con la categoría de coma de $(1 \downarrow K)$ (en el formato del artículo de la wikipedia que he enlazado).

Answer 1

La posibilidad que has pasado por alto es que $1$ se refiere al objeto terminal de $\mathbf{Set}$ . O, si se prefiere, el functor de la categoría terminal a $\mathbf{Set}$ que selecciona el objeto terminal.

Sin embargo, sólo es necesario saber esto si se quiere ver cómo se conectan las categorías de comas. El párrafo citado pasa a especificar explícitamente los objetos y flechas de una categoría isomorfa a $(1 \downarrow K)$ y, presumiblemente, continúa por completo en términos de esa categoría.

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Con más detalle, dejemos $F : \mathbf{1} \to \mathbf{Set}$ sea un functor de la categoría terminal al objeto terminal $1$ de $\mathbf{Set}$ . Sea $*$ sea el objeto de $\mathbf{1}$ y $\star$ sea el elemento de $1$ .

Entonces $(1 \downarrow K)$ significa $(F \downarrow K)$ y el mencionado isomorfismo asocia

$$(*,1 \xrightarrow{f} K(d), d ) \sim (d, f(\star))$$