Resolviendo $(f(x))^2 = f(\sqrt{2}x)$

Question

Me gustaría saber cómo resolver esta ecuación:

$$f(x)^2 = f(\sqrt{2}x)$$

Suponemos que $f : \mathbb R \to \mathbb R$ es $\mathcal C^{2}$.

La respuesta debería ser $f(x)=e^{-x^{2}/2}$, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Consejos :

• suponer que $f(x) > 0$ para todo $x$
• escribir $g = \log f$
• aplicar la igualdad en $g$ dos veces para obtener un término $g(2x)$
• tomar la segunda derivada de la igualdad en $g$ y obtener $g(2x) = g(x)$
• concluir que $g''$ es constante

Notas adicionales :

• porque $f(0)^2 =f(0)$, $f(0) \in \{0,1\}$
• si $\exists x \mid f(x)=0$, entonces $f(0)=0$ (porque $f(x/\sqrt2) = \ldots = f(x/\sqrt2^n) = 0$ y $f$ es continua en $0$
• como señala aquí, si $\exists a \mid f(a)>0$, $f(a/\sqrt{2}^k) = f(a)^{\frac1{2^k}}$ y $f(0)=1$ por la continuidad de $f$ en $0$

Así que:

• $f(0) = 1$, y entonces $f$ es estrictamente positiva y $f(x) = e^{\lambda x^2}$,
• o $f(0)=0$ y $f = 0$.

PD: como muestra el excelente post de Yves, relajar la suposición de $\mathcal C^{\infty}$, incluso solo en $0$, genera una amplia clase de soluciones adicionales.

PPD: He abierto una nueva pregunta para ver qué sucede si relajamos algunas de estas condiciones aquí: $f(\alpha x) = f(x)^{\beta}$ bajo diferentes restricciones

Answer 2

Estableciendo $x=2^{t/2}$ y tomando el logaritmo dos veces, $$(f(x))^2=f(\sqrt2x)$$ se convierte en $$\log_2(\log_2(f(2^{t/2})))+1=\log_2(\log_2(f(2^{(t+1)/2})))$$ o $$h(t)+1=h(t+1).$$ Una solución obvia es $h(t)=t+c$, o $\log_2(\log_2(f(2^{t/2})))=t+c=2\log_2(x)+c$, $$f(x)=2^{Cx^2}.$$

Se encuentran más soluciones añadiendo funciones periódicas suaves de periodo $1$, como

$$h(t)=t+A\sin(2\pi t)+c,$$

que producen

$$f(x)=2^{Cx^22^{A\sin(4\pi\log_2(x))}}.$$

Ejemplo con $C=-1,A=1$:

Answer 3

Con el punto de inicio $(f(x))^2=f(\sqrt 2x)$, podemos llegar a $(f(x))^4 = f(2x)$ y más lejos $(f(x))^{16}=f(4x)$ y así sucesivamente, de manera que

$$(f(x))^{2^n}=f(\sqrt{2^n}x)$$

mostrando así que nuestra función pasa constantes de manera exponencial. Luego tomamos $f(x)=e^{g(x)}$ y obtenemos

$$e^{2g(x)}=e^{g(\sqrt 2x)}$$

de lo cual podemos decir que $2g(x)=g(\sqrt 2x)$ o $4g(x)=g(2x)$. Tomar la derivada aquí produce

$$4g'(x)=2g'(2x)\\ 4g''(x)=4g''(2x)$$

En el punto de esta segunda derivada, vemos que $g''(x)$ debe ser constante o periódico con un período múltiplo de $\sqrt 2$. Trabajando hacia atrás, debemos tener $g(x)=ax^2+bx+c$ (para soluciones no periódicas), y con $2g(x)=g(\sqrt 2x)$ debemos de hecho tener $g(x)=ax^2$ (soluciones no periódicas). En este punto del proceso, debe haber algún otro calificador para obtener una función única $f(x)$ de la familia

$$f(x)=e^{ax^2}$$

Advertencia: $f(x)=0$ también es una solución posible no cubierta por el coeficiente $a$ anterior.

Supongamos que consideramos $\exists x_0:f(x)\lt 0$. Entonces debemos tener $(f(x_0/\sqrt 2))^2=f(x_0)\lt 0$, lo que significa que $f(x_0/\sqrt 2)=0+qi$ para algún $q$ real y $i=\sqrt{-1}$. Pero ahora también obtenemos que $(f(x_0))^2=f(\sqrt 2x_0)\gt 0$ lo que nos lleva a nuestro conjunto de soluciones anteriores donde ninguno de los valores es negativo, lo cual es una contradicción; por lo tanto, nuestra suposición de que existe $x_0$ tal que $f(x_0)$ es negativo debe ser falsa o de lo contrario nuestra derivación del conjunto de soluciones restringe incorrectamente el conjunto resultante. Esto también significaría que cualquier solución que contenga números no reales no puede contener números reales. Dado que una de las etiquetas en esta pregunta en particular dice "análisis real" tomaré eso como una señal para decir que tener cualquier resultado negativo de $f(x)$ lleva la función al análisis complejo, y por lo tanto tales posibilidades para $f(x)$ están más allá del alcance de esta pregunta.