En la rama de Coulomb de la teoría de gauge supersimétrica ${\cal N}=2.

Question

El anillo quiral de la rama de Coulomb de una teoría de gauge supersimétrica ${\cal N}=2$ en 4D está dado por los Casimires de los escalares del multiplete vectorial, y no tienen relaciones no triviales; los Casimires son siempre independientes.

También en la clase de teorías no-Lagrangeanas de ${\cal N}=2$ de Gaiotto, el anillo quiral de la rama de Coulomb no parece tener relaciones.

¿Es un hecho general? Si es así, ¿cómo podemos deducirlo de las álgebras supersimétricas $N=2$?

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Me pidieron que aclare la definición de la rama de Coulomb en teorías no-Lagrangeanas; definámoslas para las SCFT de $N=2$ por el hecho de que la simetría $SU(2)_R$ actúa trivialmente sobre los operadores de la rama de Coulomb.

Answer 1

Por lo que recuerdo, algo así:

Si ($g$) es un álgebra de Lie finito dimensional y semi-simple con un "rango" ($n$) entonces el centro $[Z(U(g))]$ debe ser isomorfo al álgebra de polinomios ($K[C^i]$) sobre el campo base de ($n$) variables ($C^i$) donde ($i=1, 2, 3, ... , n$). El número de Casimires algebraicamente independientes es igual al rango.

Así que si tu pregunta es por qué los Casimires son independientes, esa es la mejor respuesta que se me ocurre.