Área utilizando co-ordiantes polares, ¿dónde está mi error?

Question

Tenemos dos círculos $r = a \cos \theta$ y $r = a \sin \theta$ . Tenemos que encontrar el área entre ellos utilizando las coordenadas polares (Área 1).

Esto es lo que hice:

$$Area = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_{a \sin \theta}^{a \cos \theta} r \ dr \right) \ d\theta = 0$$

Lo que no debería ser el caso, ya que el área debe ser $> 0$ aquí.

¿Qué hay de malo en mi enfoque?

Por favor, ayuda.

Answer 1

El área de intersección no está dada por $$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, a \sin \theta \leq r \leq a \cos \theta$$ Por las razones mencionadas por geodude, el área (neta) de esta región es cero. Obsérvese que, debido al desfase entre las curvas seno y coseno, el límite del círculo seno de la región de intersección se dibuja de izquierda a derecha cuando $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ y el límite del círculo del coseno se dibuja de derecha a izquierda cuando $\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ .

Por lo tanto, una forma de encontrar el área de la región de intersección es dividirla en dos partes con un segmento de línea $L$ de $(0,0)$ a $(a,a)$ . La superficie total $A$ viene dada por

$$A = \underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{a \sin \theta} r \,dr \,d\theta}_{S} + \underbrace{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{a \cos \theta} r \,dr \,d\theta}_{C}$$

$S$ da el área entre $L$ y el límite verde del círculo del seno, y $C$ dado el área entre $L$ y el límite rojo del círculo del coseno.

$$\begin{align} S &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{a \sin \theta} r \,dr \,d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} a^2 \sin^2 \theta \,d\theta \\ &= \left [ \frac{1}{4} a^2 \left ( \theta - \sin \theta \cos \theta \right )\right ]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{1}{4}a^2 \left ( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right ) \end{align}$$

$C$ también es igual a esto (lo que tiene sentido ya que la región de interés es simétrica respecto a $L$ ), por lo que

$$A = \frac{1}{2}a^2 \left ( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right )$$