¿Es real esta similitud con la transformada de Fourier de la función de von Mangoldt?

Question

Mathematica sabe que el logaritmo de $n$ es:

$$\log(n) = \lim\limits_{s \rightarrow 1} \zeta(s)\left(1 - \frac{1}{n^{(s - 1)}}\right)$$

La función de von Mangoldt debería ser entonces:

$$\Lambda(n)=\lim\limits_{s \rightarrow 1} \zeta(s)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}.$$

Estableciendo el primer término de la función de von Mangoldt $\Lambda(1)$ igual al número armónico $H_{\operatorname{scale}}$ donde la escala es igual a la escala de la matriz de la transformada de Fourier, se puede calcular la transformada de Fourier de la función de von Mangoldt con el programa de Mathematica en el siguiente enlace:

http://pastebin.com/ZNNYZ4F6

En el programa estudié la función dentro del límite para la función de von Mangoldt, e hice algunos pequeños cambios en la propia función:

$f(t)=\sum\limits_{n=1}^{n=k} \frac{1}{\log(k)} \frac{1}{n} \zeta(1/2+i \cdot t)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(1/2+i \cdot t-1)}}$ como $k$ va al infinito.

(Edición 20.9.2013: La función $f(t)$ tenía "-1" en el argumento de la función zeta).

El gráfico de esta función tiene el siguiente aspecto:

Mientras que el gráfico de la transformada de Fourier de la función de von Mangoldt con el programa tiene este aspecto:

Hay algunas similitudes, pero la transformada de Fourier converge más rápidamente hacia oscilaciones más pequeñas entre los picos de los ceros zeta y el factor de escala es erróneo.

¿La función $f(t)$ de arriba convergen finalmente a la transformada de Fourier de la función de von Mangoldt, o es sólo otro gráfico sin sentido?

Ahora, cuando lo miro, creo que los picos en los ceros provienen de la propia función zeta y la característica similar al espectro proviene de la función Möbius que invierte la función zeta.

En la transformada de Fourier la función de von Mangoldt tiene esta forma:

$$\log (\text{scale}) ,\log (2),\log (3),\log (2),\log (5),0,\log (7),\log (2),\log (3),0,\log (11),0,...,\Lambda(\text{scale})$$

$$scale = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...k$$

O como látex:

$$\Lambda(n) = \begin{cases} \log q & \text{if }n=1, \\\log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

$$n=1,2,3,4,5,...q$$

TableForm[Table[Table[If[n == 1, Log[q], MangoldtLambda[n]], {n, 1, q}],
{q, 1, 12}]]

---

scale = 50; (*scale = 5000 gives the plot below*)
Print["Counting to 60"]
Monitor[g1 = 
  ListLinePlot[
   Table[Re[
     Zeta[1/2 + I*k]*
      Total[Table[
        Total[MoebiusMu[Divisors[n]]/Divisors[n]^(1/2 + I*k - 1)]/(n*
           k), {n, 1, scale}]]], {k, 0 + 1/1000, 60, N[1/6]}], 
   DataRange -> {0, 60}, PlotRange -> {-0.15, 1.5}], Floor[k]]

Serie de Dirichlet:

---

Clear[f];
scale = 100000;
f = ConstantArray[0, scale];
f[[1]] = N@HarmonicNumber[scale];
Monitor[Do[
  f[[i]] = N@MangoldtLambda[i] + f[[i - 1]], {i, 2, scale}], i]
xres = .002;
xlist = Exp[Range[0, Log[scale], xres]];
tmax = 60;
tres = .015;
Monitor[errList = 
   Table[(xlist^(1/2 + I k - 1).(f[[Floor[xlist]]] - xlist)), {k, 
     Range[0, 60, tres]}];, k]
ListLinePlot[Im[errList]/Length[xlist], DataRange -> {0, 60}, 
 PlotRange -> {-.01, .15}]

Transformación de Fourier:

---

Matriz inversa:

Clear[n, k, t, A, nn];
nn = 50;
A = Table[
   Table[If[Mod[n, k] == 0, 1/(n/k)^(1/2 + I*t - 1), 0], {k, 1, nn}], {n, 1,
     nn}];
MatrixForm[A];
ListLinePlot[
 Table[Total[
   1/Table[n*t, {n, 1, nn}]*
    Total[Transpose[Re[Inverse[A]*Zeta[1/2 + I*t]]]]], {t, 1/1000, 60,
    N[1/6]}], DataRange -> {0, 60}, PlotRange -> {-0.15, 1.5}]

---

Clear[n, k, t, A, nn];
nnn = 12;
Show[Flatten[{Table[
    ListLinePlot[
     Table[Re[
       Total[1/Table[n*t, {n, 1, nn}]*
         Total[Transpose[
           Inverse[
             Table[Table[
               If[Mod[n, k] == 0, N[1/(n/k)^(1/2 + I*t - 1)], 0], {k, 
                1, nn}], {n, 1, nn}]]*Zeta[1/2 + I*t]]]]], {t, 1/1000,
        60, N[1/10]}], DataRange -> {0, 60}, 
     PlotRange -> {-0.15, 1.5}], {nn, 1, nnn}], 
   Table[ListLinePlot[
     Table[Re[
       Total[1/Table[n*t, {n, 1, nn}]*
         Total[Transpose[
           Inverse[
             Table[Table[
               If[Mod[n, k] == 0, N[1/(n/k)^(1/2 + I*t - 1)], 0], {k, 
                1, nn}], {n, 1, nn}]]*Zeta[1/2 + I*t]]]]], {t, 1/1000,
        60, N[1/10]}], DataRange -> {0, 60}, 
     PlotRange -> {-0.15, 1.5}, PlotStyle -> Red], {nn, nnn, nnn}]}]]

12 primeras curvas juntas o sumas parciales:

Clear[n, k, t, A, nn, dd];
dd = 220;
Print["Counting to ", dd];
nn = 20;
A = Table[
   Table[If[Mod[n, k] == 0, 1/(n/k)^(1/2 + I*t - 1), 0], {k, 1, 
     nn}], {n, 1, nn}];
Monitor[g1 = 
   ListLinePlot[
    Table[Total[
      1/Table[n*t, {n, 1, nn}]*
       Total[Transpose[
         Re[Inverse[
           IdentityMatrix[nn] + (Inverse[A] - IdentityMatrix[nn])*
             Zeta[1/2 + I*t]]]]]], {t, 1/1000, dd, N[1/100]}], 
    DataRange -> {0, dd}, PlotRange -> {-7, 7}];, Floor[t]];
mm = N[2*Pi/Log[2], 20];
g2 = Graphics[
   Table[Style[Text[n, {mm*n, 1}], FontFamily -> "Times New Roman", 
     FontSize -> 14], {n, 1, 32}]];
Show[g1, g2, ImageSize -> Large];

Matriz inversa de la matriz por la función zeta (en la línea crítica):

Clear[n, k, t, A, nn, h];
nn = 60;
h = 2; (*h=2 gives log 2 operator, h=3 gives log 3 operator and so on*)
A = Table[
   Table[If[Mod[n, k] == 0, 
     If[Mod[n/k, h] == 0, 1 - h, 1]/(n/k)^(1/2 + I*t - 1), 0], {k, 1, 
     nn}], {n, 1, nn}];
MatrixForm[A];
g1 = ListLinePlot[
   Table[Total[
     1/Table[n*t, {n, 1, nn}]*
      Total[Transpose[Re[Inverse[A]*Zeta[1/2 + I*t]]]]], {t, 1/1000, 
     nn, N[1/6]}], DataRange -> {0, nn}, PlotRange -> {-3, 7}];
mm = N[2*Pi/Log[h], 12];
g2 = Graphics[
   Table[Style[Text[n*2*Pi/Log[h], {mm*n, 1}], 
     FontFamily -> "Times New Roman", FontSize -> 14], {n, 1, 32}]];
Show[g1, g2, ImageSize -> Large]

Matriz inversa del operador zeta de Riemann por log 2:

Código de Jeffrey Stopple :

Show[Graphics[
  RasterArray[
   Table[Hue[
     Mod[3 Pi/2 + Arg[Zeta[sigma + I t]], 2 Pi]/(2 Pi)], {t, -30, 
     30, .1}, {sigma, -30, 30, .1}]]], AspectRatio -> Automatic]

Zeta normal o habitual:

Show[Graphics[
  RasterArray[
   Table[Hue[
     Mod[3 Pi/2 + 
        Arg[Sum[Zeta[sigma + I t]*
           Total[1/Divisors[n]^(sigma + I t - 1)*
              MoebiusMu[Divisors[n]]]/n, {n, 1, 30}]], 
       2 Pi]/(2 Pi)], {t, -30, 30, .1}, {sigma, -30, 30, .1}]]], 
 AspectRatio -> Automatic]

Zeta espectral (30ª suma parcial):

Clear[n, k, t, A, nn, B];
nn = 60;
A = Table[
  Table[If[Mod[n, k] == 0, 1/(n/k)^(1/2 + I*t - 1), 0], {k, 1, 
    nn}], {n, 1, nn}]; MatrixForm[A];
B = FourierDCT[
   Table[Total[
     1/Table[n, {n, 1, nn}]*
      Total[Transpose[Re[Inverse[A]*Zeta[1/2 + I*t]]]]], {t, 1/1000, 
     600, N[1/6]}]];
g1 = ListLinePlot[B[[1 ;; 700]]*Table[Sqrt[n], {n, 1, 700}], 
   DataRange -> {0, 60}, PlotRange -> {-60, 600}];
mm = 11.35/Log[2];
g2 = Graphics[
   Table[Style[Text[n, {mm*Log[n], 100 + 20*(-1)^n}], 
     FontFamily -> "Times New Roman", FontSize -> 14], {n, 1, 16}]];
Show[g1, g2, ImageSize -> Large]

Función de Mobius -> Serie de Dirichlet -> Zeta espectral de Riemann -> Transformada de Fourier -> Función de von Mangoldt:

Un gráfico de la función de von Mangoldt más grande sigue siendo una amplitud incorrecta: http://i.stack.imgur.com/02A1p.jpg

Clear[n, k, t, A, nn, B, g1, g2];
nn = 32;
A = Table[
   Table[If[Mod[n, k] == 0, 1/(n/k)^(1/2 + I*t - 1), 0], {k, 1, 
     nn}], {n, 1, nn}];
MatrixForm[A];
B = FourierDCT[
   Table[Total[
     1/Table[n, {n, 1, nn}]*
      Total[Transpose[Re[Inverse[A]*Zeta[1/2 + I*t]]]]], {t, 0, 2000, 
     N[1/6]}]];
g1 = ListLinePlot[B[[1 ;; 2000]], DataRange -> {0, 60}, 
   PlotRange -> {-5, 50}];
2*N[Length[B]/1500, 12];
mm = 13.25/Log[2];
g2 = Graphics[
   Table[Style[Text[n, {mm*Log[n], 7 + (-1)^n}], 
     FontFamily -> "Times New Roman", FontSize -> 14], {n, 1, 40}]];
Show[g1, g2, ImageSize -> Full]

Trazado del programa anterior: http://i.stack.imgur.com/r6mTJ.jpg

Sumas parciales de la función zeta, utiliza esta:

Clear[n, k, t, A, nn, B];
nn = 80;
mm = 11.35/Log[2];
A = Table[
   Table[If[Mod[n, k] == 0, 1/(n/k)^(1/2 + I*t - 1), 0], {k, 1, 
     nn}], {n, 1, nn}];
MatrixForm[A];
B = Re[FourierDCT[
    Monitor[Table[
      Total[1/Table[
          n, {n, 1, nn}]*(Total[
           Transpose[Inverse[A]*Sum[1/j^(1/2 + I*t), {j, 1, nn}]]] - 
          1)], {t, 1/1000, 600, N[1/6]}], Floor[t]]]];
g1 = ListLinePlot[B[[1 ;; 700]], DataRange -> {0, 60/mm}, 
   PlotRange -> {-30, 30}];
g2 = Graphics[
   Table[Style[Text[n, {Log[n], 5 - (-1)^n}], 
     FontFamily -> "Times New Roman", FontSize -> 14], {n, 1, 32}]];
Show[g1, g2, ImageSize -> Full]

---

Edición 17.1.2015:

Clear[g1, g2, scale, xres, x, a, c, d, datapointsdisplayed];
scale = 1000000;
xres = .00001;
x = Exp[Range[0, Log[scale], xres]];
a = -FourierDCT[
    Log[x]*FourierDST[
      MangoldtLambda[Floor[x]]*(SawtoothWave[x] - 1)*(x)^(-1/2)]];
c = 62.357;
d = N[Im[ZetaZero[1]]];
datapointsdisplayed = 500000;
ymin = -1.5;
ymax = 3;
p = 0.013;
g1 = ListLinePlot[a[[1 ;; datapointsdisplayed]], 
   PlotRange -> {ymin, ymax}, 
   DataRange -> {0, N[Im[ZetaZero[1]]]/c*datapointsdisplayed}];
Show[g1, Graphics[
  Table[Style[Text[n, {22800*Log[n], -1/4*(-1)^n}], 
    FontFamily -> "Times New Roman", FontSize -> 14], {n, 1, 12}]], 
 ImageSize -> Large]

Show[Graphics[
  RasterArray[
   Table[Hue[
     Mod[3 Pi/2 + 
        Arg[Sum[Zeta[sigma - I t]*
           Total[1/Divisors[n]^(sigma + I t)*MoebiusMu[Divisors[n]]]/
            n, {n, 1, 30}]], 2 Pi]/(2 Pi)], {t, -30, 
     30, .1}, {sigma, -30, 30, .1}]]], AspectRatio -> Automatic]

Lo siguiente es una relación:

Dejemos que $\mu(n)$ sea la función de Möbius, entonces

$$a(n) = \sum\limits_{d|n} d \cdot \mu(d)$$

$$T(n,k)=a(GCD(n,k))$$

$$T = \left( \begin{array}{ccccccc} +1&+1&+1&+1&+1&+1&+1&\cdots \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&-2&+1&+1&-2&+1 \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&+1&+1&-4&+1&+1 \\ +1&-1&-2&-1&+1&+2&+1 \\ +1&+1&+1&+1&+1&+1&-6 \\ \vdots&&&&&&&\ddots \end{array} \right)$$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{T(n,k)}{n^c \cdot k^z} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\lim\limits_{s \rightarrow z} \zeta(s)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}}{n^c} = \frac{\zeta(z) \cdot \zeta(c)}{\zeta(c + z - 1)}$$

que es parte del límite:

$$\frac{\zeta '(s)}{\zeta (s)}=\lim_{c\to 1} \, \left(\zeta (c)-\frac{\zeta (c) \zeta (s)}{\zeta (c+s-1)}\right)$$

Answer 1

La transformada de Laplace de una función

$\sum _{i=1}^{\infty } a_i \delta (t-\log (i))$ donde $\delta (t-\log (i))$ es la función Delta (es decir, el impulso de la unidad) en el momento $\log(i)$

es

$\int_0^{\infty } e^{-s t} \sum _{i=1}^{\infty } a_i \delta (t-\log (i)) \, dt$

o

$\sum _{i=1}^{\infty } a_i i^{-s}$

Su $a_i$ son $log(p)$ si $i = prime^k$ sino 0, por lo que se trata de la transformada de Laplace (de lo que se piensa) que está muy relacionada con la transformada de Fourier. Puedes encontrar que $\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{s} a_i i^{-s}$ da resultados más suaves (aunque entonces se convierte en una suma de $a_i$ )

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, pero quiero mostrar que aquí no hay nada misterioso.

Queremos demostrarlo:

$$\text{Fourier Transform of } \Lambda(1)...\Lambda(k) \sim \sum\limits_{n=1}^{n=\infty} \frac{1}{n} \zeta(s)\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}$$

La inversa de Dirichlet de la función totiente de Euler es

$$a(n)=\sum\limits_{d|n} \mu(d)d$$

Construir la matriz $$T(n,k)=a(GCD(n,k))$$

que comienza:

$$\displaystyle T = \begin{bmatrix} +1&+1&+1&+1&+1&+1&+1&\cdots \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&-2&+1&+1&-2&+1 \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&+1&+1&-4&+1&+1 \\ +1&-1&-2&-1&+1&+2&+1 \\ +1&+1&+1&+1&+1&+1&-6 \\ \vdots&&&&&&&\ddots \end{bmatrix}$$

donde GCD es el máximo común divisor del índice de la fila $n$ y el índice de la columna $k$ .

joriki mostró que la función de von Mangoldt es $$\Lambda(n)=\sum\limits_{k=1}^{k=\infty} \frac{T(n,k)}{k}$$

A continuación, añada esta cita de Terence Tao de ici que no comprendo del todo, pero casi veo por qué debe ser cierto:

Cita: "La transformada de Fourier en este contexto se convierte (esencialmente) en la transformada de Mellin, que es particularmente importante en la teoría analítica de los números. (Por ejemplo, la función zeta de Riemann es esencialmente la transformada de Mellin del peine de Dirac sobre los números naturales)

Ahora volvamos a la matriz $T$ :

Primero el von Mangoldt se expande como:

$$\displaystyle \begin{bmatrix} +1/1&+1/1&+1/1&+1/1&+1/1&+1/1&+1/1&\cdots \\ +1/2&-1/2&+1/2&-1/2&+1/2&-1/2&+1/2 \\ +1/3&+1/3&-2/3&+1/3&+1/3&-2/3&+1/3 \\ +1/4&-1/4&+1/4&-1/4&+1/4&-1/4&+1/4 \\ +1/5&+1/5&+1/5&+1/5&-4/5&+1/5&+1/5 \\ +1/6&-1/6&-2/6&-1/6&+1/6&+2/6&+1/6 \\ +1/7&+1/7&+1/7&+1/7&+1/7&+1/7&-6/7 \\ \vdots&&&&&&&\ddots \end{bmatrix}$$

Edición: 24.1.2016. A partir de aquí las variables $n$ y $k$ debería ser permutado pero no sé cómo arreglar el resto de esta respuesta ahora mismo.

Sumar primero las columnas equivale a lo dicho anteriormente: $$\Lambda(n)=\sum\limits_{k=1}^{k=\infty} \frac{T(n,k)}{k}$$

donde:

$$\Lambda(n) = \begin{cases} \infty & \text{if }n=1, \\\log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

o como una secuencia:

$$\infty ,\log (2),\log (3),\log (2),\log (5),0,\log (7),\log (2),\log (3),0,\log (11),0,...,\Lambda(\infty)$$

Y ahora, basándonos en la cita anterior, digamos que: $$\text{Fourier Transform of } \Lambda(1)...\Lambda(k) = \sum\limits_{n=1}^{n=k}\frac{\Lambda(n)}{n^s}$$

Expandiendo esto en forma de matriz tenemos la matriz

$$\displaystyle \begin{bmatrix} \frac{T(1,1)}{1 \cdot 1^s}&+\frac{T(1,2)}{1 \cdot 2^s}&+\frac{T(1,3)}{1 \cdot 3^s}+&\cdots&+\frac{T(1,k)}{1 \cdot k^s} \\ \frac{T(2,1)}{2 \cdot 1^s}&+\frac{T(2,2)}{2 \cdot 2^s}&+\frac{T(2,3)}{2 \cdot 3^s}+&\cdots&+\frac{T(2,k)}{2 \cdot k^s} \\ \frac{T(3,1)}{3 \cdot 1^s}&+\frac{T(3,2)}{3 \cdot 2^s}&+\frac{T(3,3)}{3 \cdot 3^s}+&\cdots&+\frac{T(3,k)}{3 \cdot k^s} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ \frac{T(n,1)}{n \cdot 1^s}&+\frac{T(n,2)}{n \cdot 2^s}&+\frac{T(n,3)}{n \cdot 3^s}+&\cdots&+\frac{T(n,k)}{n \cdot k^s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\zeta(s)}{1} \\ +\frac{\zeta(s)\sum\limits_{d|2} \frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}}{2} \\ +\frac{\zeta(s)\sum\limits_{d|3} \frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}}{3} \\ \vdots \\ +\frac{\zeta(s)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}}{n} \end{bmatrix}$$

En el lado derecho vemos que suma a la derecha de lo que nos propusimos demostrar, es decir:

$$\text{Fourier Transform of } \Lambda(1)...\Lambda(k) \sim \sum\limits_{n=1}^{n=\infty} \frac{1}{n} \zeta(s)\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}$$

Las cosas que no están claras son: ¿Con qué factor debe multiplicarse el lado izquierdo para que tenga la misma magnitud que el lado derecho? Y por qué en la transformada de Fourier el primer término de la función de von Mangoldt parece ser $\log q$ ?

$$\Lambda(n) = \begin{cases} \log q & \text{if }n=1, \\\log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

$$n=1,2,3,4,5,...q$$

Como heurística, $$\Lambda(n) = \log q \;\;\;\; \text{if }n=1$$ probablemente tiene que ver con que en la transformada de Fourier $q$ términos de $\Lambda$ y la primera columna de la matriz cuadrada $T(1..q,1..q)$ suma a un número armónico.