Gráfico de líneas de $\Bbb K_{3,3}$ es autocomplementario

Question

¿Cómo puedo mostrar el gráfico de líneas de $\Bbb K_{3,3}$ ¿es autocomplementario?

Sé que un gráfico es autocomplementario si es isomorfo a su complemento. Puedo demostrarlo dibujando la gráfica lineal de $\Bbb K_{3,3}$ y luego encontrar el complemento de la misma. ¿Hay alguna manera más fácil de hacerlo?

Por favor, hágamelo saber.

Answer 1

No sé si es más fácil, pero esta es una forma de hacerlo.

Dejemos que $K_{3,3}$ tienen vértices $u_0,u_1,u_2$ en un lado y $v_0,v_1,v_2$ en el otro lado. Identificar el borde $u_iv_j$ con el par ordenado $(i,j)\in\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3$ , donde $(\mathbb Z_3,+)$ es el grupo cíclico de orden $3$ . Entonces el gráfico $G=L(K_{3,3})$ tiene un conjunto de vértices $\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3$ y dos vértices distintos $(i,j)$ y $(i',j')$ son adyacentes si $i=i'$ ou $j=j'$ . La cartografía $(i,j)\mapsto(i+j,i-j)$ es un isomorfismo del gráfico $G$ a su complemento.