¿Por qué es importante el producto tensorial si ya tenemos productos directos y semidirectos?

Question

¿Puede alguien explicarme por qué Productos Tensoriales son importantes, y lo que hace que los matemáticos los definan de tal manera. Ya tenemos Producto directo , Semidirecto productos, así que, después de todo, ¿para qué necesitamos el producto tensorial?

La definición de Producto tensorial en Planet Math es confuso.

Definición: Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, y sea $A, B$ sea $R$ -módulos. Existe un $R$ -Módulo $A\otimes B$ , llamado el producto tensorial de $A$ y $B$ en $R$ junto con una canónica homomorfismo bilineal $$\otimes: A\times B\rightarrow A\otimes B,$$ se distinguen, hasta el isomorfismo, por la siguiente propiedad universal universal. Todo bilineal $R$ -homomorfismo de módulo $$\phi: A\times B\rightarrow C,$$ eleva a un único $R$ -homomorfismo de módulo $$\tilde{\phi}: A\otimes B\rightarrow C,$$ tal que $$\phi(a,b) = \tilde{\phi}(a\otimes b)$$ para todos $a\in A,\; b\in B.$

El producto tensorial $A\otimes B$ se puede construir tomando el $R$ -módulo generado por todos los símbolos formales $$a\otimes b,\quad a\in A,\;b\in B,$$ y cotizando por las relaciones bilineales obvias: $$\begin{align*} (a_1+a_2)\otimes b &= a_1\otimes b + a_2\otimes b,\quad &&a_1,a_2\in A,\; b\in B \\ a\otimes(b_1+b_2) &= a\otimes b_1 + a\otimes b_2,\quad &&a\in A,\;b_1,b_2\in B \\ r(a\otimes b) &= (ra)\otimes b= a\otimes (rb)\quad &&a\in A,\;b\in B,\; r\in R \end{align*}$$

También cuál es el significado de esta declaración:( ¿Por qué necesitamos esto? )

• Cada bilineal $R$ -homomorfismo de módulo $$\phi: A\times B\rightarrow C,$$ eleva a un único $R$ -homomorfismo de módulo $$\tilde{\phi}: A\otimes B\rightarrow C,$$ tal que $$\phi(a,b) = \tilde{\phi}(a\otimes b)$$ para todos $a\in A,\; b\in B.$

Mis amigos y yo hemos planeado estudiar este tema hoy. Así que espero no equivocarme al hacer estas preguntas.

Answer 1

El producto tensorial es la categorización de la multiplicación en anillos, por lo que ahora se pueden multiplicar objetos (espacios vectoriales, anillos, álgebras, etc), y es "lineal" en cada uno de los términos.

Supongamos, por ejemplo, que se tiene un álgebra sobre un anillo, digamos $M_n(\mathbb{Z})$ las matrices con entradas enteras (el anillo son los enteros), pero se quiere poder multiplicar estas matrices con polinomios de $\mathbb{Q}[x]$ . Así que se puede definir formalmente una multiplicación de un polinomio f con la matriz A por (f,A).

Ahora quieres varias propiedades agradables a las que estás acostumbrado cuando multiplicas, es decir, es lineal en cada uno de los términos (distributividad) $$(f+g,A)=(f,A)+(g,A)$$ $$(f,A+B)=(f,A)+(f,B)$$
Tomando el producto tensorial se obtienen, entre otras, estas propiedades (en realidad, una multiplicación en un anillo $R$ es una función $\mu: R\otimes R \rightarrow R$ que satisface la asociatividad - $\mu (1\otimes \mu)= \mu (\mu \otimes 1)$ )

Si, por ejemplo, se parte de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ y se tensa con un campo $K$ que es una extensión de $F$ , entonces se obtiene un nuevo campo vectorial $K \otimes V$ pero sobre el campo más grande $K$ y con la misma dimensión(y la multiplicación es $\alpha(\beta \otimes v)= (\alpha \beta \otimes v)$ . Esta operación se llama extensión de escalares.

Por supuesto, hay otras razones por las que el producto tensorial es importante, pero creo que éste es un buen punto de partida.

Answer 2

No voy a tratar de convencerte de nada con lo siguiente, simplemente creo que esta razón debe quedar registrada. Es el "producto" correcto en la categoría de Anillos. Le da la estructura simétrica monoidal correcta. Esencialmente, es importante y útil porque en realidad es en lo que deberíamos pensar. Las razones implican esencialmente la propiedad universal que tiene, mencionada anteriormente: un mapa lineal a partir de un producto tensorial es un mapa multilineal a partir del producto cartesiano, y al hacer álgebra esto es lo que debería preocuparnos.

Por favor, ten en cuenta el comentario de elgeorges más abajo, el producto tensorial es el coproducto categórico en la categoría de Anillos Conmutativos, de ahí mi uso de las comillas.

Answer 3

Lo único que dice es que tenemos un operador especial que toma los dos espacios A y B y nos da un nuevo espacio C' ( $A \otimes B$ ). Y que todo homomorfismo de A x B a C nos da otro homomorfismo de C' a C, es único, y es muy bonito porque los cálculos en C' se corresponden con los cálculos en C.

Esta es la generalización común de los mapeos. Lo que hace es permitirnos construir una especie de espacio especial, C', que se relaciona directamente de forma única con C.

http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_modules

Véase el primer diagrama. Obsérvese su similitud con muchos otros diagramas que se encuentran en la teoría de grupos, como los de los espacios cocientes. Lo que es diferente es que estamos trabajando con productos cartesianos. En cierto sentido se puede pensar en el producto tensorial como una reducción del producto cartesiano de un espacio a un nuevo espacio que tiene una relación directa con el anterior. Esto es útil en el sentido de que el nuevo espacio puede ser isomorfo a un espacio más simple y/o las características del nuevo espacio pueden utilizarse para explorar las características del antiguo espacio.

Véase también: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/tensores3.html

Answer 4

Lo que me ayudó a ver el encanto de los Productos Tensoriales es lo siguiente: calcular Z/100Z ⊗ Z/101Z. El Producto Directo es una solución para un problema universal. Los Productos Tensoriales son una solución para otro.

Answer 5

El producto directo intuitivamente, permite aumentar la dimensión de un espacio: en particular, "suma los ejes" de los dos espacios vectoriales. Si tiene $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ que son, respectivamente, los espacios euclidianos de dimensiones $n$ y $m$ , su producto directo permite poner los ejes de coordenadas de uno "ortogonales" a los del otro para formar el superior, $m + n$ -espacio dimensional.

El producto tensorial intuitivamente, le permite obtener el espacio de tensores que combinará elementos de los dos espacios. A tensor es sólo un mapa bilineal $T$ que toma un vector de cada espacio y da como resultado un escalar. Este tipo de mapas son muy útiles en muchos ámbitos, incluso en la física teórica, con cosas como la teoría general de la relatividad de Einstein, pero también en la mecánica clásica, donde el tensor de momento de inercia y el tensor de tensión en un sólido son dos ejemplos importantes (de hecho, creo que en este último caso es donde se creó por primera vez el término "tensor": piense en "tensión": un tensor es algo que tensa o describe la tensión. La tensión debe describirse mediante un mapa lineal, porque puede variar según la dirección).

Los tensores se pueden representar como matrices cuando se fija una base. En particular, si se tienen espacios $V$ y $W$ de dimensión finita $n$ y $m$ respectivamente sobre un campo $F$ entonces los tensores

$$T: V \times W \mapsto F$$

puede representarse como $n \times m$ matrices $\mathbf{T}$ para que

$$T(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{v}^T \mathbf{T} \mathbf{w}$$ .

De aquí se derivan las propiedades de transformación habituales. En particular, con la base estándar, el producto tensorial $\mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^m$ es efectivamente sólo el espacio de las matrices de tamaño $n \times m$ . Las definiciones más complejas del producto tensorial que citas son formas de definirlo de manera independiente de una elección específica de la base. Además, la definición anterior es un poco restringida en el sentido de que se puede interpretar $\mathbf{v}^T$ como entrada y que es efectivamente un tipo diferente de tensor. Ambos tensores se representan de la misma manera que los productos matriciales, pero la elección de "lo que entra" tiene efectos importantes - es a partir de esto que se obtiene la noción de índices "covariantes" y "contravariantes" y "subir y bajar" y todo ese buen tensor / geometría diferencial.

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Los objetos del álgebra (multi)lineal se representan de forma "simpática" en términos de pequeñas matrices de números que se pueden ordenar y sobre las que se puede operar de diversas formas, pero lo que no se aprecia tanto al principio es que cada una de ellas es una forma "simpática" de representar algo más profundo, lo que también se aplica incluso cuando la representación habitual de la "matriz" no lo hace, es decir, cuando se llega a infinitas dimensionalidades, por ejemplo:

• A vector columna es sólo un vector; un elemento de un espacio vectorial.
• A vector fila es un covector un elemento de la espacio dual del espacio vectorial y un funcional lineal (mapa que come un vector y saca otro vector).
• A matriz puede representar un transformación lineal ou un tensor y cómo se relaciona en este último caso depende de lo que se consideren las entradas.
• El producto directo significa apilar vectores de columna uno encima de otro,
• el producto tensorial significa hacer matrices con ellos sentados en forma de L y luego proyectar su relleno en el espacio intermedio.

Sin embargo, todos ellos juegan tan bien juntos que podemos representarlos fácilmente con tales matrices, siempre que tengamos una base. Las cosas se vuelven más sutiles cuando queremos hablar de ellas sin bases, por ejemplo, ¿cómo construir el espacio de todos los mapas lineales cuando no se tiene una base, ya que no se pueden escribir matrices? Eso es efectivamente lo que hace la construcción del producto tensorial para el caso tensorial.