¿Por qué es importante el producto tensorial si ya tenemos productos directos y semidirectos?

Question

¿Puede alguien explicarme por qué Productos Tensoriales son importantes, y lo que hace que los matemáticos los definan de tal manera. Ya tenemos Producto directo , Semidirecto productos, así que, después de todo, ¿para qué necesitamos el producto tensorial?

La definición de Producto tensorial en Planet Math es confuso.

Definición: Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, y sea $A, B$ sea $R$ -módulos. Existe un $R$ -Módulo $A\otimes B$ , llamado el producto tensorial de $A$ y $B$ en $R$ junto con una canónica homomorfismo bilineal $$\otimes: A\times B\rightarrow A\otimes B,$$ se distinguen, hasta el isomorfismo, por la siguiente propiedad universal universal. Todo bilineal $R$ -homomorfismo de módulo $$\phi: A\times B\rightarrow C,$$ eleva a un único $R$ -homomorfismo de módulo $$\tilde{\phi}: A\otimes B\rightarrow C,$$ tal que $$\phi(a,b) = \tilde{\phi}(a\otimes b)$$ para todos $a\in A,\; b\in B.$

El producto tensorial $A\otimes B$ se puede construir tomando el $R$ -módulo generado por todos los símbolos formales $$a\otimes b,\quad a\in A,\;b\in B,$$ y cotizando por las relaciones bilineales obvias: $$\begin{align*} (a_1+a_2)\otimes b &= a_1\otimes b + a_2\otimes b,\quad &&a_1,a_2\in A,\; b\in B \\ a\otimes(b_1+b_2) &= a\otimes b_1 + a\otimes b_2,\quad &&a\in A,\;b_1,b_2\in B \\ r(a\otimes b) &= (ra)\otimes b= a\otimes (rb)\quad &&a\in A,\;b\in B,\; r\in R \end{align*}$$

También cuál es el significado de esta declaración:( ¿Por qué necesitamos esto? )

• Cada bilineal $R$ -homomorfismo de módulo $$\phi: A\times B\rightarrow C,$$ eleva a un único $R$ -homomorfismo de módulo $$\tilde{\phi}: A\otimes B\rightarrow C,$$ tal que $$\phi(a,b) = \tilde{\phi}(a\otimes b)$$ para todos $a\in A,\; b\in B.$

Mis amigos y yo hemos planeado estudiar este tema hoy. Así que espero no equivocarme al hacer estas preguntas.

Answer 1

Hay literalmente docenas de razones independientes para inventar el producto tensorial, y casi todas las áreas de las matemáticas necesitan el producto tensorial por sus propias razones (a menudo varias razones). He aquí un par de ejemplos.

• Supongamos que $X$ y $Y$ son espacios topológicos (los espacios métricos están bien si te gustan más) y considera los anillos $C(X)$ y $C(Y)$ de funciones continuas de valor real. Si está convencido de que los productos son dignos de consideración, tal vez esté convencido de que es útil mirar $C(X \times Y)$ . Es natural preguntarse si esto puede expresarse en términos de $C(X)$ y $C(Y)$ la respuesta (sin tener en cuenta los detalles técnicos, en gran medida irrelevantes) es que $C(X \times Y) = C(X) \otimes C(Y)$ .

• Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ . A menudo es deseable construir un espacio vectorial complejo asociado naturalmente a $V$ (la "complejización" de $V$ ). Al decir "naturalmente" me refiero a una forma libre de coordenadas y transparentemente compatible con los mapas lineales. La solución es establecer $V_{\mathbb{C}} = V \otimes \mathbb{C}$ (producto tensorial sobre $\mathbb{R}$ ). Este es un caso especial del fenómeno más general de la "extensión de escalares". Como ejemplo elegante que demuestra que esto es realmente tan útil como afirmo, puedes consultar la página de la wikipedia sobre "clases de pontryagin" (aunque puede que te sobrepase si no has aprendido mucho de topología algebraica).

• Una de las razones por las que las sumas directas son importantes es que permiten convertir objetos extraños en grupos. Por ejemplo, si $G$ es un grupo y $V$ y $W$ son dos representaciones de $G$ (espacios vectoriales en los que $G$ actúa bien), entonces $V \oplus W$ también es una representación de $G$ . Así, el conjunto de todas las representaciones de $G$ tiene una estructura aditiva, y con un poco de magia algebraica se puede convertir esta estructura en un grupo (no te preocupes demasiado por cómo restas representaciones). Los grupos son bonitos y tienen muchos invariantes propios, pero los anillos son aún más bonitos y tienen aún más invariantes. Así que sería estupendo poder definir un producto natural de representaciones. Lo has adivinado: el producto de $V$ y $W$ es sólo $V \otimes W$ . El conjunto de todas las representaciones de $G$ con esta estructura es el infame "anillo de representación" de $G$ . Esta estructura del producto es aparentemente de suma importancia en la mecánica cuántica (no sé por qué). Como otro ejemplo en el que el producto tensorial convierte un grupo en un anillo, puedes consultar la página de Wikipedia sobre "teoría K topológica".

Hay muchos más ejemplos. Si sabes de análisis funcional, el teorema del núcleo de Schwartz es una herramienta que se utiliza para investigar cuestiones de existencia y propiedades de regularidad de las ecuaciones diferenciales parciales, y puede formularse puramente en términos de la teoría de productos tensoriales topológicos de Grothendeick. No puedo darte ninguna razón profunda de por qué el mismo artilugio algebraico tiene una gama tan diversa de aplicaciones, pero supongo que es así. Sin duda, aprenderás más a medida que sigas estudiando matemáticas.

AÑADIDO: Acabo de fijarme en la otra parte de tu pregunta, en la que preguntas por la propiedad de "elevación" del producto tensorial. Si tuviera que dar una explicación de una frase de lo que es realmente el producto tensorial, sería la siguiente Dados dos $R$ -módulos $A$ y $B$ queremos convertir $R$ -mapas bilineales en $A \times B$ en mapas lineales en algún otro objeto. Queremos hacer esto porque para muchos propósitos reduce la teoría de la estructura de los mapas bilineales a la teoría de la estructura (¡extensa!) de los mapas lineales. La propiedad de elevación que describes nos dice que el producto tensorial hace el trabajo.

Pero más que "hacer el trabajo", lo hace de la mejor manera posible. Cuando se aprende sobre la mayoría de los objetos matemáticos, como la suma directa de dos espacios vectoriales, es típico definir el objeto como un conjunto dotado de cierta estructura y luego demostrar que tiene ciertas propiedades agradables. En el caso del producto tensorial, hay que hacerlo al revés: hay que pensar en el producto tensorial como un objeto con ciertas propiedades agradables y luego demostrar que realmente existe un objeto con todas esas propiedades. Esto se debe a que la construcción real del producto tensorial de dos módulos no es en absoluto ilustrativa y es completamente irrelevante para el uso real de la idea en la práctica.

Seré un poco menos vago y esbozaré cómo debe desarrollarse el producto tensorial desde cero. Dados dos $R$ -módulos $A$ y $B$ definen un producto tensorial de $A$ y $B$ para ser un par $T, t$ donde $T$ es un $R$ -módulo y $t: A \times B \to T$ es un mapa bilineal con la propiedad de que dado cualquier mapa bilineal $Q: A \times B \to C$ existe un único mapa lineal $L: T \to C$ tal que $Q = L \circ t$ .

Lemma 1: Si el producto tensorial existe, es único hasta el isomorfismo único.

Lemma 2: El producto tensorial existe.

Answer 2

Los productos tensores son útiles por dos razones:

• permiten estudiar ciertos mapas no lineales (mapas bilineales) transformándolos primero en lineales, a los que se puede aplicar el álgebra lineal;
• le permiten cambiar el anillo sobre el que se define un módulo.

Hay muchas, muchas formas en las que estas dos habilidades se manifiestan en la naturaleza.

Answer 3

Definimos los productos tensoriales por la misma razón por la que definimos cualquier otra estructura matemática abstracta: es una estructura que aparece mucho en las matemáticas, así que vale la pena tener un nombre para ella. No veo por qué esta razón se aplica menos a los productos tensoriales que a las sumas directas. Como dice el artículo de la Wikipedia,

Los productos tensoriales son importantes en las áreas de álgebra abstracta, álgebra homológica, topología algebraica y geometría algebraica

y los productos tensoriales de los espacios vectoriales también son importantes en la geometría diferencial y la física. Creo que es mejor conocer a fondo estas aplicaciones que tener a alguien que intente resumirlas.

Tim Gowers ha escrito una breve introducción a los productos tensoriales aquí pero, en mi opinión, no da una buena idea del amplio rango de aplicabilidad de esta noción.

Answer 4

La razón para definir productos tensoriales de $R$ -módulos (o de espacios vectoriales) es la misma que la de definir productos de conjuntos. Esto último lo hacemos en el instituto, probablemente sin darnos cuenta de lo que hacemos. Si tenemos una expresión $E[x,y]$ con dos variables, decimos que podemos convertirla en una "función de dos variables" $f(x,y) = E[x,y]$ . Esto significa que para cualquier valor particular de $x$ , digamos que $x_0$ , $E[x_0,y]$ es una función de $y$ y, para cualquier valor particular $y = y_0$ , $E[x,y_0]$ es una función de $x$ . Si $x$ y $y$ rango sobre conjuntos $A$ y $B$ respectivamente, y $E[x,y]$ está en $C$ podríamos acertar el tipo de esta "función de dos variables" como $f : A, B \to C$ . Pero estas "funciones de dos variables" son bastante inconvenientes para trabajar. Así que inventamos un conjunto llamado $A \times B$ cuyos elementos son pares ordenados como $(x,y)$ y tiene esta propiedad:

• funciones de dos variables $A,B \to C$ son uno a uno con funciones de tipo $A \times B \to C$

Así nunca tendremos que escribir tipos extraños como " $A,B \to C$ ". Las "funciones de dos variables" son ahora lo mismo que las funciones ordinarias $A \times B \to C$ .

La misma idea se aplica a $R$ -módulos conduce a productos tensoriales. Si se tiene una expresión $E[x,y]$ que es lineal en $x$ y $y$ por separado, es decir, para cualquier valor fijo $x = x_0$ , $E[x_0, y]$ es lineal en $y$ y, para cualquier valor fijo $y = y_0$ , $E[x, y_0]$ es lineal en $x$ entonces tenemos una "función bilineal" de dos variables $A, B \to C$ . De la misma manera que hicimos con los conjuntos, inventamos un $R$ -módulo llamado $A \otimes_R B$ que tiene esta propiedad:

• funciones bilineales $A, B \to C$ son uno a uno con las funciones lineales $A \otimes_R B \to C$ .

La definición de Planet Math dice exactamente esto, salvo que utiliza la notación " $A \times B \to C$ " en lugar de mi extraña notación " $A, B \to C$ ", y le está diciendo qué tipo de correspondencia uno a uno estamos buscando: " por cada $\phi: A, B \to C$ hay un único $\tilde{\phi} : A \otimes_R B \to C$ tal que ... ".

He evitado utilizar la notación " $A \times B \to C$ "porque es muy engañoso. Lo que se entiende por $A \times B$ ¿Aquí? $A$ y $B$ son $R$ -módulos, que tienen una noción de producto. ¿Es eso lo que $A \times B$ ¿significa? En realidad no. Si se toma la $R$ -Módulo $A \times B$ y mirar los mapas lineales desde allí hasta $C$ no se obtienen mapas bilineales (mapas que son lineales en $A$ y $B$ independientemente). Te dejaré pensar por qué se utiliza esa notación engañosa (casi universalmente en matemáticas). Pero si intentas escribir ese tipo de cosas en un probador de teoremas automatizado, que requiere que seas preciso con lo que escribes, no te saldrás con la tuya.

(La extraña notación " $A,B \to C$ " que he utilizado en realidad proviene de un sistema bien estudiado de multicategorías en la teoría de las categorías. Aunque es inconveniente de usar, a veces es necesario porque los productos tensoriales en algunas ramas de las matemáticas pueden ser aún más inconvenientes de usar).

Answer 5

Dejemos que $R$ sea un anillo. Suponemos $R$ es un anillo conmutativo sólo por simplicidad. Sea Mod( $R$ ) sea la categoría de $R$ -módulos. Sea $F$ ser un $R$ -módulo. Al asignar Hom( $F, X$ ) para cada $R$ -Módulo $X$ obtenemos un functor $T_F$ :Mod( $R$ ) $\to$ Mod( $R$ ). Supongamos que existe un functor adjunto a la izquierda $S_F$ de $T_F$ . Entonces existe un isomorfismo functorial Hom( $S_F(E), X) \cong$ Hom( $E, T_F(X)$ ) para $E, X \in$ Mod( $R$ ). De hecho, $S_F(E) = E\otimes F$ satisface esta condición. En otras palabras, $-\otimes F$ es un functor adjunto a la izquierda de Hom( $F, -$ ).

EDITAR [26 de agosto de 2012]

En resumen, los productos tensoriales son importantes porque son (una especie de) duales de los funtores Hom.