Problema del centro de rotación instantáneo

Question

¿Existe un punto de Centro de Rotación Instantánea ( CIR ) para cualquier tipo de movimiento o sólo para los casos de balanceo?

Answer 1

Para un cuerpo rígido 3D siempre hay un eje de tornillo instantáneo. Éste consiste en una línea 3D (con dirección) y un paso. El paso describe la cantidad de traslación paralela que se produce para cada rotación del cuerpo rígido. Una rotación pura tiene un paso cero, mientras que una traslación pura tiene un paso infinito. ( Cinemática 3D Ref. html Presentación de la Universidad de Pensilvania ppt , Teoría de los tornillos wiki )

Propiedades de los tornillos

1. Dado un cuerpo rígido en movimiento, un punto A ubicado en $\vec{r}_A$ en algún instante tiene el vector velocidad lineal en el mismo punto $\vec{v}_A$ y la velocidad angular $\vec{\omega}$ .
2. El eje de movimiento del tornillo tiene dirección $$\vec{e} = \frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}$$
3. La ubicación del eje de movimiento del tornillo más cercano a A es $$\vec{r}_S = \vec{r}_A + \frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_A}{|\vec{\omega}|^2}$$
4. El paso del movimiento del tornillo es $$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}_A}{|\vec{\omega}|^2}$$

donde $\times$ es el producto cruzado, y $\cdot$ es el producto punto (escalar).

Prueba

Punto de imagen S con una velocidad lineal $\vec{v}_S$ no necesariamente paralelo al eje de rotación $\vec{\omega}$ . Trabajando hacia atrás (desde S a A ), la velocidad lineal de cualquier punto A en el cuerpo rígido es

$$ \vec{v}_A = \vec{v}_S + \vec\omega \times ( \vec{r}_A-\vec{r}_S) $$

Se utiliza en la ecuación de posición del eje del tornillo $|\vec{\omega}|^2 (\vec{r}_S-\vec{r}_A) = \vec{\omega} \times \vec{v}_A$ (desde arriba) como

$$ |\vec{\omega}|^2 (\vec{r}_S-\vec{r}_A) = \vec{\omega} \times \vec{v}_S - \vec{\omega} \times \vec\omega \times ( \vec{r}_S-\vec{r}_A)$$ que se expande utilizando el triple producto vectorial como

$$ |\vec{\omega}|^2 (\vec{r}_S-\vec{r}_A) = \vec{\omega} \times \vec{v}_S - \vec{\omega} (\vec{\omega}\cdot (\vec{r}_S-\vec{r}_A))+ |\vec{\omega}|^2 (\vec{r}_S-\vec{r}_A)$$ $$ \vec{\omega} \times \vec{v}_S = \vec{\omega} (\vec{\omega}\cdot (\vec{r}_S-\vec{r}_A)) =0 $$

ya que el lado derecho es siempre paralelo a $\vec{\omega}$ y el lado izquierdo es siempre perpendicular a $\vec{\omega}$ . La única solución a lo anterior es la velocidad en el eje del tornillo S para que sea paralela a la rotación

$$ \vec{v}_S = h \vec{\omega} $$

y la velocidad en A se convierte en

$$ \vec{v}_A = h \vec{\omega} + \vec{\omega} \times (\vec{r}_A-\vec{r}_S) $$

Answer 2

Supongo que está hablando de un cuerpo rígido en movimiento en un plano.

Considera dos puntos cualesquiera del cuerpo, A y B. En cualquier momento, cada uno de ellos tiene un vector velocidad $\vec{v_A}$ y $\vec{v_B}$ (asumiendo que ninguno de los dos es, en sí mismo, el centro).

Considere la línea normal a $\vec{v_A}$ Llámalo $n_A$ y de la misma manera $n_B$ .

El punto de intersección de estas dos líneas es el centro instantáneo. Si las dos líneas son paralelas, el movimiento es de traslación pura.

Si quieres ampliarlo a 3 dimensiones, $n_A$ y $n_B$ son planos normales a $\vec{v_A}$ y $\vec{v_B}$ . Donde se cruzan hay una línea, un "eje" si se quiere.

Answer 3

El hecho que afirmas es bastante general de hecho e incluso se extiende de forma relacionada a las 3 dimensiones también.

Se conoce como Teorema de la rotación de Chasles: Cualquier desplazamiento general de un cuerpo rígido puede representarse mediante una traslación más una rotación.

En el caso del movimiento de un cuerpo en un plano,el eje interseca el plano dado en un punto que podemos llamar centro de rotación instantáneo.Incluso en el caso de que no intersecte,decimos que el centro de rotación está en el infinito.

Así que, sí, cualquier movimiento de un cuerpo en un plano tiene un eje de rotación instantáneo.

Answer 4

Los ejes de rotación instantáneos aparecen sólo estudiando el movimiento de cuerpos sólidos rígidos .

Consideremos un cuerpo sólido rígido ${\cal B}$ moviéndose en el espacio de tres. Para estudiar su movimiento, fija un punto $O \in {\cal B}$ y un triple de ejes ortonormales ${\bf k}_1$ , ${\bf k}_2$ , ${\bf k}_3$ en reposo con ${\cal B}$ centrado en $O$ .

Ahora podemos describir el movimiento de ${\cal B}$ con respecto a un triple ortonormal fijo de ejes ${\bf e}_1$ , ${\bf e}_2$ , ${\bf e}_3$ .

Si $P\in {\cal B}$ es una partícula de materia de ${\cal B}$ determinado por ${\bf x}_P = \sum_{i=1}^3 x_{Pi} {\bf k}_i$ y estos componentes no cambian en el tiempo sólo porque ${\cal B}$ es un cuerpo rígido, su posición ${\bf y}_P(t)$ en el espacio viene dado por: ${\bf y}_P(t)= {\bf y}_O(t) + {\bf x}_P$ es decir, en componentes: $$y_{Pi}(t) = y_{Oi}(t) + \sum_{j=1}^n R_{ij}(t) x_{Pj}\quad (1)$$
donde ${\bf k}_j(t) = \sum_{i=1}^3 R_{ij}(t){\bf e}_i$ y $R(t) \in O(3)$ es una rotación determinada.

Ahora considere el $t$ -derivada para $t=0$ cuando ${\bf k}\equiv {\bf e}_i$ de (1). Podemos fijar arbitrariamente el instante $t=0$ cambiando el origen del tiempo por lo que este valor no juega ningún papel fundamental y podemos redefinir el triple de ${\bf e}_i$ para que ${\bf k}(0)\equiv {\bf e}_i$ es válido para $i=1,2,3$ .

$$\frac{dy_{Pi}}{dt}|_{t=0} = \frac{dy_{Oi}}{dt}|_{t=0} + \sum_{j=1}^n \frac{dR_{ij}}{dt}|_{t=0} x_{Pj}\quad (2)\:.$$

Esta identidad puede utilizarse para estudiar la primera aproximación del movimiento del cuerpo ${\cal B}$ en un barrio de $t=0$ :

$$y_{Pi}(t) = y_{Pi}(0) + \frac{dy_{Pi}}{dt}|_{t=0} t + O(t^2)$$

de modo que, aprovechando (2)

$$y_{Pi}(t) = y_{Pi}(0) + \frac{dy_{Oi}}{dt}|_{t=0}t + \sum_{j=1}^n \frac{dR_{ij}}{dt}|_{t=0} x_{Pj}t + O(t^2)\qquad (3)\:.$$

Utilizando la estructura de grupo de Lie de $O(3)$ (o también por inspección directa), es posible demostrar que, como $R(0)=I$ existe un vector $\omega(0)$ tal que ( $^*$ ):

$$\frac{dR}{dt}|_{t=0} = \omega(0) \times \qquad (4)\:.$$ Finalmente evaluando (1) para $t=0$ encontramos $${\bf y}_P(0) = {\bf y}_O(0) + {\bf x}_P(0)\qquad (5)$$ donde todos los vectores se descomponen indistintamente en la base del ${\bf e}_i$ s o la de ${\bf k}_i$ s, sólo porque coinciden para $t=0$ . Insertando (4) y (5) en (3), se obtiene finalmente:

$${\bf y}_{P}(t) = {\bf y}_{P}(0) + {\bf v}_O(0) t + \omega(0)\times {\bf y}_p(0)t + O(t^2)\qquad (6)$$

donde, obviamente ${\bf v}_O(t):= \sum_i \frac{dy_{Oi}}{dt}|_{t=0} {\bf e}_i$ .

Para un instante genérico $t_0$ , definiendo $\Delta t = t-t_0$ obtendríamos de forma similar:

$${\bf y}_{P}(t) = {\bf y}_{P}(t_0) + {\bf v}_O(t_0) \Delta t + \omega(t_0)\times ({\bf y}_P(t_0)- {\bf y}_O(0))\Delta t + O(\Delta t^2)\qquad (7)$$

La Ec.(7) dice que, en la vecindad de cada instante ( $t=t_0$ en nuestro caso), el movimiento de ${\cal B}$ es la superposición de una traslación espacial a lo largo de ${\bf v}_O(t_0)$ y una rotación alrededor del vector unitario paralelo a $\omega(t)$ que pasa por el centro instantáneo $O(t)$ . El eje es el eje de rotación instantánea por definición.

Utilizando (7) que es válido para cualquier elección de $O$ si el movimiento no es de pura traslación, siempre podemos cambiar $O$ para que en el momento interesante ${\bf v}_O(t_0) \times \omega(t_0)=0$ para que ${\bf v}_O(t_0)$ y $\omega(t_0)$ son paralelos. Obsérvese que el nuevo $O(t_0)$ en general, no es un punto de ${\cal B}$ sino un punto geométrico en el espacio. En este caso (7) se reduce a un movimiento de rotación puro alrededor de $O(t_0)$ más una traslación a lo largo del eje de rotación (en una zona próxima al instante de tiempo considerado). Este punto $O(t_0)$ es un centro de rotación instantáneo . En realidad hay todo un eje con la misma propiedad: el que pasa por el encontrado $O(t_0)$ dirigido a lo largo de $\omega(t_0)$ .

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Notas a pie de página.

$(^*)$ Como $t \mapsto R(t)\in O(3)$ y $R(0)=I$ entonces $dR/dt|_{t=0}$ es un elemento del álgebra de Lie de $O(3)$ . El álgebra de Lie de $O(3)$ está formado por todos los antisimétricos reales $3\times 3$ matrices. Si $A$ es una matriz de este tipo, surge inmediatamente que existe un vector $\omega_A$ tal que $A{\bf u} = \omega_A \times {\bf u}$ para todos los vectores ${\bf u}$ .