Este post tardará un poco en estar bien montado, pero es de fácil lectura (y muy probablemente de fácil respuesta); en cualquier caso, tened paciencia conmigo.
Pregunta
En el entorno habitual de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ Las formas diferenciales se definen como sigue:
- Definición 1 - Dado un subconjunto abierto $U \subset \mathbb{R}^n$ un diferencial suave $p$ -formar en $U$ es una función suave $\omega : U \mapsto \bigwedge^p(\mathbb{R}^n)^*$ tal que $\omega = \sum_I{f_Ie_{i_1}^* \wedge \cdots \wedge e_{i_p}^*}$ para la función suave $f_I$ en $U$ y la base dual $\{e_{1}^*,\ldots,e_{n}^*\}$ de la base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ donde $I = \{i_1,\ldots,i_p\} \subseteq \{1,\ldots,n\}$ con $i_1 < \cdots < i_p$ . El espacio vectorial de todos los $p$ -forma en $U$ se denota $\Omega^p(U)$ . El espacio vectorial $\Omega^*(U) = \bigoplus_{p \geq 0}{\Omega^p(U)}$ es el conjunto de todas las formas diferenciales sobre $U$ .
que puede elevarse a colectores diferenciales
- Definición 2 - Sea $M$ sea una variedad suave. El conjunto $\Omega^p(M)$ de diferencial suave $p$ -forma en $M$ es el conjunto de secciones suaves del haz $\bigwedge^pT^*M$ y el conjunto $\Omega^*(M)$ de todas las formas diferenciales suaves en $M$ es el conjunto de secciones suaves del haz $\bigwedge T^*M$ .
La definición 2 está muy bien cuando se trata de colectores diferenciales "estándar" $M$ es decir, $M$ es un segundo espacio Hausdorff contable que es localmente homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ . Sin embargo, ¿es posible definir las formas diferenciales, junto con otros conceptos relacionados, en las variedades que no son homeomorfas a $\mathbb{R}^n$ sino que es homeomorfo a un espacio vectorial topológico más abstracto? Más concretamente, ¿puede hacerse esto en espacios vectoriales topológicos difusos (véase la sección de antecedentes/documentos más adelante para su aclaración) y, por tanto, en variedades diferenciales difusas? Si es así, ¿cómo?
"Respuesta"
Mi intuición es que las formas diferenciales pueden definirse para los colectores diferenciales difusos y, por tanto, para los espacios vectoriales topológicos difusos. De hecho, parece que, junto con las nociones de apoyo de las secciones, los haces de fibras y los mapas multilineales alternos, pueden definirse sin preocuparse explícitamente por el "bagaje difuso" asociado a los manifiestos difusos/espacios difusos.
- Definición 3 - Sea $X$ sea una variedad difusa diferenciable (véase la definición 17 más adelante), $TX = \bigsqcup_{x\in X}T_xX$ el haz tangente asociado (véase la definición 18 para el espacio tangente), y $T^*X$ el haz dual a $TX$ . El conjunto $\Omega^p(X)$ de diferencial suave $p$ -forma en $X$ es el conjunto de secciones suaves del haz $\bigwedge^pT^*X$ .
Lo mismo parece ocurrir con la representación local de un $p$ -forma
- Definición 4 - Sea $X$ sea una variedad difusa diferenciable $(A,\phi)$ y el gráfico difuso de $X$ en $x$ (véase la definición 16 más adelante), donde $x$ se encuentra en el soporte del conjunto difuso $A$ . A $p$ -forma $\omega$ puede expresarse en términos de sus funciones de coordenadas con respecto a la base $\{e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_p}\}$ de $T^*X$ , $i_1 < \cdots < i_p$ , como $\omega = \sum_I{f_{i_1,\ldots,i_p}e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_p}}$ , donde $f_{i_1,\ldots,i_p}$ es una función sobre $A$ .
Antecedentes
En el documento " $C^1$ colectores difusos", Conjuntos y sistemas difusos , vol. 54, pp. 99-106, 1993 (enlace PDF) Ferraro y Foster introdujeron una posible realización de una variedad "difusa": una variedad diferenciable que es localmente homeomorfa a conjuntos difusos abiertos que viven en un cierto tipo de espacio vectorial topológico difuso. Más formalmente,
Espacio topológico difuso
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Definición 5 - Sea $X$ sea un conjunto y $I$ el intervalo de la unidad $[0,1]$ . Un conjunto difuso $A$ se caracteriza por una función de pertenencia $\mu_A$ que asocia cada punto $x \in X$ con un grado de afiliación $\mu_A(x) \in I$ .
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Definición 6 - Sea $k_c$ sea el conjunto difuso en $X$ con la función de pertenencia $\mu_{k_c}(x) = c$ , $c \in I$ , $x \in X$ . El conjunto difuso $k_1$ corresponde al conjunto $X$ y el conjunto difuso $k_0$ al conjunto vacío.
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Definición 7 - Sea $X$ sea un conjunto. Una topología difusa sobre $X$ es una familia $\mathscr{F}$ de conjuntos difusos en $X$ que cumplan las siguientes condiciones: (i) $k_0,k_1 \in \mathscr{F}$ (ii) si $A,B \in \mathscr{F}$ entonces $A \cap B \in \mathscr{F}$ (iii) si $A_j \in \mathscr{F}$ entonces $\bigcup_j{A_j} = \sup_j \mu_{A_j}(x) \in \mathscr{F}$ para un número finito de $j$ y $x \in X$ Llamamos a $(X,\mathscr{F})$ un espacio topológico difuso.
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Definición 8 - Un conjunto difuso abierto $A \in X$ es una en $\mathscr{F}$ . Un conjunto difuso cerrado es aquel cuyo complemento, es decir, $\mu_{A^c}(x) = 1 - \mu_A(x)$ , $\forall x \in X$ , está en $\mathscr{F}$ .
Espacio vectorial topológico difuso
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Definición 9 - Un punto difuso en $X$ es un conjunto difuso con función de pertenencia $\mu_{y_\lambda}(x)$ , $x \in X$ , de tal manera que $\mu_{y_\lambda}(x) = \lambda$ para $x = y$ y $0$ de lo contrario.
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Definición 10 - Que $(X_1,\mathscr{F}_1)$ y $(X_2,\mathscr{F}_2)$ sean dos espacios topológicos difusos. Un mapeo $f$ de $(X_1,\mathscr{F}_1)$ en $(X_2,\mathscr{F}_2)$ se dice que es continuo difuso si para cada conjunto difuso abierto $B \in \mathscr{F}_2$ la imagen inversa $f^{-1}(B)$ está en $\mathscr{F}_1$ . A la inversa, $f$ es abierto difuso si para cada $A \in \mathscr{F}_1$ la imagen $f(A)$ está en $\mathscr{F}_2$ . Si $f$ es un mapeo biyectivo que es a la vez fuzzy continuo y fuzzy abierto, se llama un homeomorfismo fuzzy.
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Definición 11 - Sea $\{A_j\}$ sea una familia finita de conjuntos difusos en un espacio vectorial $E$ sobre el campo $K$ de números reales. La suma $A = \sum_j A_j$ de la familia $\{A_j\}$ es el conjunto difuso en $E$ que tiene la función de pertenencia $\mu_A(x) = \sup_{\sum_j A_j}\min_j \mu_{A_j}(x_j)$ , $x \in E$ . El producto escalar $\alpha A$ de $\alpha \in K$ y $A \in E$ es el conjunto difuso en $E$ con función de pertenencia $\mu_{\alpha A}(x)$ , $x \in E$ , dado por: $\mu_{\alpha A}(x) = \mu_{A}(x/\alpha)$ para $\alpha \neq 0$ y $\mu_{\alpha A}(x) = \mu_{0_\lambda}(x)$ para $\alpha = 0$ donde $0_\lambda$ es un punto difuso en $0$ en $E$ con $\lambda = \sup_{y \in E}\mu_A(y)$ .
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Definición 12 - Un espacio vectorial topológico difuso es un espacio vectorial $E$ sobre el campo $K$ de los números reales, $E$ equipado con la topología difusa $\mathscr{F}$ y $K$ con la topología habitual $\mathscr{H}$ , tal que los dos mapeos: (i) $(x,y) \mapsto x+y$ de $(E,\mathscr{F}) \times (E,\mathscr{F})$ en $(E,\mathscr{F})$ y (ii) $(\alpha,x) \mapsto \alpha x$ de $(K,\mathscr{H}) \times (E,\mathscr{F})$ en $(E,\mathscr{F})$ son continuos difusos.
Múltiple difuso y espacio tangente
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Definición 13 - Que $\mathscr{E}_1$ y $\mathscr{E}_2$ sean espacios vectoriales topológicos difusos. Sea $o(t)$ denotan una función de una variable real $t$ tal que $\lim_{t\to 0}o(t)/t = 0$ . Un mapa $\beta$ se dice que es tangente a 0 si dada una vecindad $W$ de $0_\delta$ (un punto difuso), $0 < \delta \leq 1$ , en $\mathscr{E}_1$ existe una vecindad $V$ de $0_\lambda$ (un punto difuso), para cada $\lambda$ , $0 < \lambda < \delta$ , en $\mathscr{E}_2$ tal que $\beta(tV) \subset o(t)W$ .
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Definición 14 - Sea $\mathscr{E}_1$ y $\mathscr{E}_2$ sean espacios vectoriales topológicos difusos dotados de un $T_1$ topología difusa (a $T_1$ El espacio topológico difuso es aquel en el que cada punto difuso es un conjunto difuso cerrado). Sea $f : \mathscr{E}_1 \mapsto \mathscr{E}_2$ sea una cartografía continua difusa. $f$ se dice que es diferenciable de forma difusa en un punto $x \in \mathscr{E}_1$ si existe un mapeo lineal difuso continuo $u$ de $\mathscr{E}_1$ en $\mathscr{E}_2$ tal que $f(x+y) = f(x)+u(y)+\beta(y)$ , $y \in \mathscr{E}_1$ donde $\beta$ es tangente a $0$ . La cartografía $u$ se llama la derivada difusa $f$ en $x$ y $f$ se llama diferenciable difusa si es diferenciable difusa en cada punto de $\mathscr{E}_1$ .
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Comentario 1 - También se puede definir la derivada parcial difusa de forma análoga a Lang en $\S I.3$ de: S. Lang, Introduction to Differentiable Manifolds, New York City, NY, USA: Springer, 2002; una definición de integración difusa también se desprende de $\S I.4$ , ibid.
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Definición 15 - Que $\mathscr{E}_1$ y $\mathscr{E}_2$ sean espacios vectoriales topológicos difusos. Una biyección $f$ de $\mathscr{E}_1$ en $\mathscr{E}_2$ se dice que es un difeomorfismo difuso de clase $C^1$ si éste y su inverso $f^{-1}$ son difusamente diferenciables y $f'$ y $(f^{-1})'$ son continuos difusos.
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Definición 16 - Que $X$ sea un conjunto. Un atlas difuso de clase $C^1$ en $X$ es una colección de pares $(A_j,\phi_j)$ que satisface las siguientes condiciones: (i) cada $A_j$ es un conjunto difuso en $X$ y $\sup_j \mu_{A_j}(x)$ , $\forall x \in X$ (ii) cada $\phi_j$ es una biyección definida en el soporte de $A_j$ es decir, $\{x \in X,\mu_{A_j}(x) > 0\}$ que mapea $A_j$ en un conjunto difuso abierto $\phi_j(A_j)$ en algún espacio vectorial difuso $\mathscr{E}_j$ y para cada $l$ en el conjunto de índices $\phi_j(A_j \cap A_l)$ es un conjunto difuso abierto $\mathscr{E}_j$ (iii) la cartografía $\phi_l \circ \phi_j^{-1}$ que mapea $\phi_j(A_j \cap A_l)$ en $\phi_l(A_j \cap A_l)$ es un $C^1$ difeomorfismo difuso para cada par de índices $j,l$ .
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Definición 17 - Que $(X,\mathscr{F})$ sea un espacio topológico difuso. Supongamos que existe un conjunto difuso abierto $A$ en $X$ y una cartografía continua difusa $\phi$ definida en el soporte de $A$ , mapeo $A$ en un conjunto difuso abierto $V$ en un espacio vectorial topológico difuso $\mathscr{E}$ . $(A,\phi)$ se dice que es compatible con el atlas difuso $\{(A_j,\phi_j)\}$ si cada mapeo $\phi_j \circ \phi^{-1}$ de $\phi(A \cap A_j)$ en $\phi_j(A \cap A_j)$ es un difeomorfismo difuso de clase $C^1$ . Dos fuzzy $C^1$ Los atlas son compatibles si cada gráfico difuso de un atlas es compatible con cada gráfico difuso de otro atlas; esta relación de compatibilidad entre $C^1$ Los atlas difusos son una relación de equivalencia. Una clase de equivalencia de $C^1$ atlas difusos sobre $X$ se dice que define un $C^1$ colector difuso en $X$ .
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Comentario 2 - Como apunte, parece que se pueden modificar los argumentos de Hirsch en el Lemma 2.8 y el Teorema 2.9 (M. W. Hirsch, Differential Topology, New York City, NY, USA: Springer, 1976) para demostrar que toda $C^1$ El colector difuso es $C^1$ difeomorfo difuso a un $C^\infty$ colector difuso.
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Definición 18 - Let $X$ sea una variedad difusa. Consideremos las triplas $(A_1,\phi_1,v_\lambda)$ y $(A_2,\phi_2,w_\lambda)$ aquí $(A_1,\phi_1)$ es un gráfico difuso en $x$ en $X$ con $v_\lambda$ siendo un punto difuso del espacio vectorial difuso en el que $\phi(A_1)$ mentiras y $(A_2,\phi_2)$ y $w_\lambda$ se definen de forma similar. Estos pares de triples están relacionados, denotados por $(A_1,\phi_1,v_\lambda) \sim (A_2,\phi_2,w_\lambda)$ si la derivada difusa de $\phi_2 \circ \phi_1^{-1}$ mapas $v_\lambda$ en $w_\lambda$ es decir, $(\phi_2 \circ \phi_1^{-1})'(\phi_1(x))v_\lambda = w_\lambda$ Esta relación $(A_1,\phi_1,v_\lambda) \sim (A_2,\phi_2,w_\lambda)$ es una relación de equivalencia. Una clase de equivalencia de triples $(A_1,\phi_1,v_\lambda)$ se denomina vector tangente de la variedad difusa $X$ en $x$ y el espacio tangente $T_x(X)$ en $x$ es el conjunto de todos los vectores tangentes a $x$ .
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Comentario 3 - Como siempre, $T_x(X)$ puede recibir la estructura de un espacio vectorial.
Para una mayor discusión sobre los términos anteriores, por ejemplo, las derivadas difusas, es aconsejable consultar M. Ferraro y D. Foster "Differentiation of fuzzy continuous mappings on fuzzy topological vector spaces", Revista de Análisis Matemático y Aplicaciones , vol. 121, pp. 589-601, 1987 (enlace PDF) .
