Interpretación Difracción de Fourier

Question

Me he familiarizado con la interferencia y ahora quiero entenderla con la ayuda de la óptica de Fourier, como se llama.

Para la derivación de la integral de difracción hay que considerar la siguiente configuración:

En relación con la imagen (respectivamente la conferencia basada en ella) el $\textsf {Electric field interference pattern}$ $E(x,y)$ que se forma cuando la luz se difracta en un objeto, descrito por un $\textsf{aperture function}$ $g(u,v)$ (en este caso un rectángulo bidimensional) se puede calcular simplemente con:

$\displaystyle E(x,y) = c\,\int\int g(u,v)\,\dfrac{e^{i\,k\,r}}{r} \,\mathrm{du\,dv}$ donde $r$ es la distancia de una fuente puntual a un punto del patrón de difracción:

$r = \sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2+d^2}$ .

Intuitivamente esto tiene sentido: al integrar estás sumando todas las fases de las ondas puntuales modificadas por la función de apertura y te preguntas cómo es el resultado.

Por algunas aproximaciones parabólicas (gran distancia) esto se traslada a $\textsf{Fraunhofer Diffraction}$ :

$\displaystyle E(x,y) = c\,\dfrac{e^{i\,k\,d}}{d}\,e^{i\,\frac{k}{2\,d}(x^2+y^2)}\,\int\int g(u,v)\,e^{-i\,\frac{k}{d}(x\,u+y\,v)}\,\mathrm{du\,dv}$

Ahora bien, aquí tengo que preguntar: ¿dónde entra en juego la transformada de Fourier? La integral podría considerarse como tal, pero ¿qué es lo que transforma? Yo sólo veo una función de posición $(u,v)$ permaneciendo en función de la posición $(x,y)$

Aquí hay un ejemplo más preciso, lo que no puedo asociar sin embargo. Es la difracción 1-D en una sola rendija:

En este caso concreto, la función de apertura se establece mediante $g(x) = \begin{cases} 1 & |x| < \frac{a}{2} \\ 0 & |x| > \frac{d}{2}\end{cases}$ como se espera que actúe una hendidura. Ahora, sin ninguna consideración tomando la transformada de Fourier cambiando al vector de onda en la dirección x:

$ \displaystyle E(k_x) = C\,\int_{-a/2}^{a/2} 1\,e^{-i\,k\,x}\,\mathrm{dx} = C\,\dfrac{2\,\sin(k_x\,\frac{a}{2})}{k_x}$ y utilizando $k_x = k\,\sin(\alpha)$ :

$E(\alpha) = C\,\dfrac{2\,\sin(k\,\sin(\alpha)\,\frac{a}{2})}{k\,\sin(\alpha)}$

Este es exactamente el patrón de campo eléctrico del que hablan las conferencias. Sin embargo, ¿cómo se relaciona esto con el $\textsf{Fraunhofer Approximation}$ ? A qué tipo de espacio derivaba la Transformada de Fourier. ¿Posición a vector de onda y luego a ángulo?

El caso es que sólo conozco la Fourier del dominio del tiempo al de la frecuencia. (Aunque me sigue dando problemas). Tal vez me puedas ayudar para este ejemplo extra.

Answer 1

Se parte de la ecuación de Helmholtz que se cumple en un medio homogéneo sin pérdidas para cualquier componente rectangular tanto de la $E$ y $H$ campos: $$\nabla^2 U + \kappa^2 U = 0 \tag{1}\label{1}$$ Es decir $U$ puede significar cualquier de la $E_x, E_y,...,H_z$ . Una solución general de $\eqref{1}$ es la onda plana $e^{\mathfrak {j} \kappa \hat {\mathbf{k}} \cdot \mathbf{r}}$ donde $\hat {\mathbf{k}}$ es el vector unitario en la dirección de propagación y $\kappa = \omega/c =2\pi/\lambda$ .

Ahora supongamos que una onda, digamos $U(x,y,z)$ se propaga *en su mayor parte* a lo largo del $z$ (aproximación paraxial) y es incidente sobre el $z=0$ plano. Descomponga este campo en un $z$ en componentes de onda plana mediante la transformada de Fourier 2D: $$U(x,y,z)=\int \int dudv A_z(u,v) e^{\mathfrak j \kappa(xu+yv)}\tag{2}\label{2}$$ Aquí $$dU(x,y,z)= A_z(u,v) e^{\mathfrak j \kappa (xu+yv)} dudv$$ es una onda plana diferencial que se mueve en la dirección representada por los cosenos de dirección $u,v,w$ donde $u^2+v^2+w^2=1$ es decir, $w=\sqrt{1-u^2-v^2}$ .

A continuación queremos encontrar la relación entre el campo (componente) $U(x,y,z)$ en $z=0$ y a la arbitraria $z$ . De la linealidad $ A_z(u,v) = A_0(u,v) e^{\mathfrak{j}\kappa w}$ . La transformada inversa de Fourier da: $$A_0(x,y)=b_1\int \int dx'dy' U(x',y',0) e^{-\mathfrak j \kappa(x'u+y'v)}\tag{3}\label{3}$$ para alguna constante $b$ (de hecho $b_1=1/(2\pi)^2$ Una vez más, debido a la naturaleza invariante de desplazamiento lineal del sistema óptico (EM), el campo de *salida* en $z$ es una convolución del campo *de entrada* en $z=0$ y el núcleo, digamos, $G(x,y)$ Es decir $$U(x,y,z) \int \int dx'dy' U(x',y',0) G(x-x',y-y')\tag{4}\label{4}$$ y $$G(x,y) = \int \int du dv e^{\mathfrak j \kappa w} e^{\mathfrak j \kappa (ux+vy)} \tag{5}\label{5}$$ donde $w=\sqrt{1-u^2-v^2}$ . Cuando se introducen las coordenadas polares $u=R cos\theta$ y $v=R sin \theta$ después de mucho dolor obtenemos (ver las funciones trascendentales superiores de Erdelyi, 4.52) $$G(R cos\theta,R sin \theta) = \frac{1}{\mathfrak j \lambda}\frac{e^{\mathfrak j \kappa \sqrt{R^2+z^2}}}{\sqrt{R^2 + z^2}} \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}\big( 1-\frac{1}{\mathfrak j \kappa \sqrt{R^2 + z^2}}\big) \tag{6}\label{6}$$

Ahora en el campo lejano (Fraunhofer) tenemos

1. cuando $z>>R$ el término entre paréntesis se aproxima como $1$
2. Definir $cos\phi = \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}$ Este ángulo $\phi$ es el dirección la ondícula elemental tiene con el eje $z$ mientras se propaga, y $cos\phi$ es el oblicuidad factor introducido por primera vez por Fresnel. Tomando $\phi \approx 0$ que si $cos\phi \approx 1$ es la aproximación paraxial.
3. El término $\sqrt{R^2+z^2}$ es la distancia entre el punto $x',y'$ en el $z=0$ plano y el punto de campo $x,y,z$ y en el régimen paraxial se puede aproximar como $z$ .

Por lo tanto, $$G(R cos\theta,R sin \theta)\approx \tilde G(R) = \frac{1}{\mathfrak j \lambda}\frac{e^{\mathfrak j \kappa \sqrt{R^2+z^2}}}{z} \tag{7}\label{7}$$ Esto nos da el campo en $z$ aproximadamente calculando la integral de convolución como $$ U(x,y,z)\approx \frac{b_2}{z}\int \int dx'dy'U(x',y',0)e^{\mathfrak j \kappa \sqrt{R^2+z^2}} \tag{8}\label{8}$$

Por último, en el campo lejano de Fraunhofer también tenemos la aproximación $$\sqrt{R^2+z^2} = \sqrt{z^2+(x-x')^2+(y-y')^2} \\ \approx z+ \frac{1}{2z}(x-x')^2+\frac{1}{2z}(y-y')^2$$ y por lo tanto

$$ U(x,y,z)\approx \frac{b_2 e^{\mathfrak j \kappa z}}{z}\int \int dx'dy'U(x',y',0)e^{\mathfrak j \kappa (\frac{1}{2z}(x-x')^2+\frac{1}{2z}(y-y')^2)} \tag{9}\label{9}$$

El resultado $\eqref{9}$ es el integral de difracción, el campo de entrada (incidente) $U(x,y,0)$ está en $z=0$ representa cualquier componente de $E$ o $H$ y se supone que es conocido. Se propaga en el semiespacio libre $z>0$ y mediante esta integral de convolución se puede calcular la misma componente de campo en cualquier punto $x,y,z$ .

Si lo desea, también puede escribir el $\eqref{9}$ integral de convolución como una transformada de Fourier expandiendo los términos cuadráticos en el exponente:

$$ U(x,y,z)\approx \frac{b_2 e^{\mathfrak j \kappa (z+x^2/(2z) +y^2/(2z))}}{z}\int \int dx'dy' e^{\mathfrak j \kappa/(2z) (x'^2 +y'^2)} U(x',y',0)e^{-\mathfrak j \kappa (xx'+yy')/z} \tag{10}\label{10}$$

pero fíjese que $\eqref{10}$ es no la transformada de Fourier de $U(x,y,0)$ pero en su lugar hay un factor de fase cuadrático también involucrado, de modo que aparte de algún factor de fase de módulo unitario en el exterior la integral esta es la transformada de Fourier de $e^{\mathfrak j \kappa/(2z) (x^2 +y^2)} U(x,y,0)$ . Ahora bien, si la extensión del objeto difractante en $z=0$ es tal que $\kappa/(2z) (x^2 +y^2) <<1 $ o $x^2 +y^2 << z \lambda $ entonces se puede despreciar el factor de fase cuadrático y tenemos la transformada de Fourier del campo incidente.

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[1] Stark: Application of Optical Fourier Transforms, Academic Press 1982