¿Qué hago cuando separo las variables de una ecuación diferencial?

Question

Veo una ecuación como esta:

$$y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = e^x$$

y resolverlo "separando variables" así:

$$y\textrm{d}y = e^x\textrm{d}x$$ $$\int y\textrm{d}y = \int e^x\textrm{d}x$$ $$y^2/2 = e^x + c$$

¿Qué estoy haciendo cuando resuelvo una ecuación de esta manera? Porque $\textrm{d}y/\textrm{d}x$ en realidad significa

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

no son realmente entidades separadas que pueda multiplicar algebraicamente.

Puedo comprobar la solución cuando haya hecho este procedimiento, y nunca he tenido problemas con él. No obstante, ¿cuál es la justificación detrás de esto?

Lo que se me ocurrió hacer en este caso particular es escribir

$$\int y \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\textrm{d}x = \int e^x\textrm{d}x$$ $$\int \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}(y^2/2)\textrm{d}x = e^x + c$$

entonces por el teorema fundamental del cálculo

$$y^2/2 = e^x + c$$

¿Es esto correcto? ¿Funcionará este procedimiento cada vez que encuentre una forma de separar las variables?

Answer 1

La justificación básica es que la integración por sustitución funciona, lo que a su vez es justificado por la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo .

Más concretamente, suponga que tiene: $$\frac{dy}{dx} = g(x) h(y)$$ Reescribe como: $$\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)$$ Añade la dependencia implícita de $y$ en $x$ para obtener $$\frac{1}{h(y(x))} \frac{dy}{dx} = g(x)$$

Ahora, integra ambos lados con respecto a $x$ : $$\int \frac{1}{h(y(x))} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx$$ Si hacemos una sustitución variable de $y$ para $x$ en el lado izquierdo (es decir, utilizar la técnica de integración por sustitución), sustituimos $\frac{dy}{dx} dx$ con $dy$ . Por lo tanto, tenemos $$\int \frac{1}{h(y)}\, dy = \int g(x) \, dx,$$ que es la fórmula de separación de variables.

Así que si crees en la integración por sustitución, entonces la separación de variables es válida.

Answer 2

La "separación de variables" en la EDO (que no tiene nada que ver con la separación de variables en la EDP) es una especie de magia fácil de realizar pero difícil de justificar.

Supongamos que en la ecuación diferencial dada las cantidades $x$ y $y$ son funciones de una variable oculta $t$ (tiempo). Entonces la ecuación $y\>y'=e^x$ equivale a $y(t){\dot y(t)\over \dot x(t)}\equiv e^{x(t)}$ , resp. $$y(t)\dot y(t)\equiv e^{x(t)}\dot x(t).$$ Integrar esto desde $t=0$ a $t=T$ se obtiene $${1\over2}(y^2(T)-y_0^2)=e^{x(T)}-e^{x_0},$$ donde $(x_0,y_0)$ es la condición inicial y $T$ es arbitraria. Esto significa: En cualquier momento las cantidades $x$ y $y$ están relacionados por la ecuación $${1\over2}(y^2-y_0^2)=e^x-e^{x_0}.$$ Mirando hacia atrás, se puede ver que la relación entre $x$ y $y$ obtenida de esta manera es exactamente la ecuación que se obtiene siguiendo la receta dada en los libros.

Answer 3

Tal vez es mejor pensar en ello como $y\frac{dy}{dx}=e^x$ . las dos funciones de $x$ son iguales, por lo que sus integrales indefinidas (con respecto a $x$ ) son iguales (es decir, de la forma en que se habló al final). mover los "diferenciales" es más bien una conveniencia.

Answer 4

Me encontré con un problema similar: tenía que estudiar la solución de ecuaciones diferenciales autónomas de segundo orden. Me resultó fructífero pensar primero en símbolos como " $dx$ " o " $dt$ " como pequeñas cantidades y luego tomar límites. Posiblemente esta es la forma en que Newton y Leibniz pensaban en los infinitesimales.

Así que, volviendo a tu (muy bonito) ejemplo, pensemos en las dos integrales como límites de sumas. Cada sumando de la derecha tiene la forma $$ e^{x_k} (x_k - x_{k-1}) $$ (aquí he puesto el valor de la función a la derecha del intervalo, pero no importa, porque la función exponencial es continua y los intervalos se hacen cada vez más pequeños en el límite que vamos a tomar), y a la izquierda hay sumandos $$ y(x_k) (y(x_k) - y(x_{k-1})). $$

Ahora hacemos los intervalos cada vez más pequeños, y debido a la continuidad de $y$ y el hecho de que podamos establecer $z_k = y(x_k)$ para simplificar los sumandos del lado derecho a $$ z_k (z_k - z_{k-1}) $$ (que corresponde a la integral de la función $f(w) = w$ ), ya podemos ver más o menos que obtenemos la respuesta correcta. (Por supuesto, entonces también tenemos que tener en cuenta los límites de la integración; notablemente, he descubierto que ayuda usar mayúsculas para estos).

Answer 5

La separación de variables implica la manipulación de la diferenciales (el $dx$ y $dy$ en su ecuación). Un diferencial es el cambio infinitesimal de una variable, y puede tratarse como una variable por derecho propio en muchas aplicaciones. Con esta perspectiva, $dy$ es una función de $x$ y $dx$ y la derivada $dy/dx$ es la relación de estos dos diferenciales, que es una función de $x$ . Lo que estás haciendo es simplemente realizar una manipulación algebraica de estas variables y luego utilizar el cálculo para eliminar los términos diferenciales.