Folliation y no desapareciendo campo de vectores.

Question

El canónica de la foliación en $\mathbb{R}^k$ es su descomposición en paralelo hojas de $\{t\} \times \mathbb{R}^{k-1}$ (como orientada submanifolds). En general, una foliación $\mathcal{F}$ en una compacta, orientada al colector $X$ es una descomposición en $1-1$ inmerso orientado colectores $Y_\alpha$ (no necesariamente compacto) que es localmente (la preservación de todas las orientaciones) por el canónica de la foliación en un gráfico en cada punto. Por ejemplo, las líneas en $\mathbb{R}^2$ de los fijos de la pendiente (posiblemente irracional) desciende a una foliación en $T^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$.

(a) Si $X$ admite una foliación, demostrar que $\chi(X) = 0$. (Sugerencia: la Partición de la unidad.)

(b) Probar que (con la adecuada justificación) que $S^2 \times S^2$ no admitir una foliación definida anteriormente.

Teorema de Un compacto, conectado, orientado colector $X$ posee un lugar de fuga campo vectorial si y solo si su característica de Euler es cero.

Pregunta: ¿Cómo podría $X$ en este problema de satisfacer la connectness de la propiedad en el teorema? Puedo decir si no está conectado, el tratamiento de cada componente de forma individual?

Answer 1

Supongo que su colector y la foliación son suaves y la foliación es de codimension 1, de lo contrario ve a Jack Lee a comentar. A continuación, elegir una métrica de Riemann en $X$, y en cada punto de $x\in M$ vector unitario $u_x$ ortogonal a la hoja de $F_x$ a través de $x$: Hay dos opciones, pero desde su foliación es transversalmente orientable, usted puede hacer una coherente elección de $u_x$. A continuación, $u$ es un nonvanishing campo de vectores en $X$.

De hecho, orientability es irrelevante: Claramente, es suficiente con considerar el caso cuando se $X$ está conectado. A continuación, puede pasar a 2 veces la cubierta $\tilde{X}\to X$, de modo que la foliación ${\mathcal F}$ $X$ ascensores de una forma transversal orientado a la foliación en $\tilde{X}$. Ver la Proposición 3.5.1 de

A. Candel, L. Conlon, "Foliaciones, I", Springer Verlag, 1999.

Usted debe leer este libro (y, tal vez, su secuela, "las Foliaciones, II"), si usted desea aprender más acerca de foliaciones.

A continuación,$\chi(\tilde{X})=0$. Por lo tanto, $\chi(X)=0$. Ahora, recordemos que un suave compacto conectado el colector admite un nonvanishing campo vectorial si y sólo si tiene cero característica de Euler. Por lo tanto, $X$ sí, también admite un nonvanishing campo de vectores.

Por cierto, el proyecto de Ley de Thurston demostrado en 1976 (Anales de las Matemáticas) que lo contrario también es cierto: Cero característica de Euler para un pacto conectado el colector implica la existencia de un suave codimension 1 de la foliación. Esta antítesis es mucho más difícil.